Критерий хи-квадрат
Стандартный тест на вопрос «таковы ли эти 37 частот выпадений, какие дало бы честное колесо?»
χ² = Σ (наблюдаемое − ожидаемое)² / ожидаемое по всем 37 ячейкам. Сравните с распределением хи-квадрат при 36 степенях свободы, и вы получите p-значение.
Как его считают
Ожидаемое число выпадений на ячейкуоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → равно n/37. Для каждой ячейки возведите в квадрат разность наблюдаемого и ожидаемого и разделите на ожидаемое; сложите 37 слагаемых. Честное колесо в среднем даёт значения около 36 (это степени свободылабораторияСтепени свободыЧисло независимых величин в статистике. Для критерия хи-квадрат на 37 ячейках оно равно 36, потому что частоты в сумме должны давать общее число спинов.Читать полностью →) со стандартным отклонениемматематикаСтандартное отклонениеКвадратный корень из дисперсии; типичное расстояние результата от математического ожидания.Читать полностью → около 8,5. Значение выше 51,0 значимо на уровне 5%, выше 58,6 — на уровне 1%. Анализатор смещения колеса считает статистику и точное p-значениелабораторияp-значениеВероятность увидеть отклонение не меньше наблюдаемого при условии, что колесо честное.Читать полностью → через регуляризованную неполную гамма-функцию.
Разбор примера
1 000 спинов. Тридцать шесть ячеек выпали от 20 до 34 раз; ячейка 8 выпала 41 раз. Ожидаемое значение — 27,03. Одно слагаемое для ячейки 8: (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Допустим, остальные 36 слагаемых дают в сумме 38 (типичный случай). Тогда χ² = 45,2 при 36 степенях свободы, p ≈ 0,14. Это не значимо: честное колесо даёт такой результат примерно один раз из семи. Ячейка 8 — кандидат, а не находка, и ответ здесь один: ещё тысяча спинов.
Допущения
Независимые спиныматематикаНезависимые спиныУ каждого спина одни и те же вероятности, что бы ни выпадало раньше. На этом основаны все расчёты на сайте.Читать полностью → и ожидаемое число выпадений не меньше 5 на ячейку; это значит, что тест корректен только при n ≥ 185 и полезен при куда большем n. Объединение спинов с разных колёс по сути нарушает первое допущение (вы проверяете смесь, а не колесо). Почерк дилера нарушил бы его по-настоящему и завысил бы χ², хотя ни одна ячейка физически не была бы предпочтительной.
Пирсон и Монте-Карло
Карл Пирсон опубликовал этот критерий в 1900 году, и одним из его первых разобранных примеров стали 26 306 записанных спинов рулетки в Монте-Карло. Он нашёл их слишком неравномерными для случайности и объявил, что «рулетка в Монте-Карло… не является азартной игрой». Позднее авторы пришли к выводу, что журналисты, записывавшие спины для газеты, многие из них выдумали, и это отдельный урок о происхождении данных.
Пирсон публикует критерий согласия хи-квадрат, в качестве примера берёт спины из Монте-Карло.
Данные о спинах ставят под сомнение: записывавшие, судя по всему, сочиняли серии.
Фишер формализует степени свободы; закрепляется условный порог 5%.
Статистики берут спины рулетки как учебные данные для проверок на равномерность.
Семья Гарсия-Пелайо применяет метод к реальным записанным данным и выигрывает в Мадриде.
Казино проводят тот же тест на собственных колёсах как плановое обслуживание.
Настоящая проверка: автоматические колёса в Лас-Вегасе
Игроки часто подозревают, что автоматическое колесо уводит шарикоборудованиеШарикМаленький шарик, который запускают по дорожке против вращения ротора. Современные шарики делают из айворина или тефлона, диаметр 18–21 мм.Читать полностью → от крупных ставок. В 2017 году Wizard of Odds проверил это подозрение на автоматических колёсах Interblock без дилера, с двойным зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →, в Лас-Вегасе: он ставил на дугу из пяти соседних чисел, то есть делал такую ставку, какую делает тот, кто засекает колесо. За 299 спинов дуга выиграла 29 раз при ожидаемых 39,3; такую нехватку честное колесо даёт примерно в 4% случаев. Хи-квадрат по всем 38 ячейкам составил 45,29 при 37 степенях свободы: p = 16,5%. Вторая выборка из 1 204 спинов на трёх колёсах дала χ² = 34,79, p = 57%, и ни одна дуга любого размера, которую он пробовал, не оказалась значимой. Обе выборки вместе, 1 503 спина, дали χ² = 41,75, p = 27%. Вердикт: признаков управления шариком нет. Одна первая выборка выглядела подозрительно; вопрос решила вторая.
Помимо хи-квадрат
Для одной подозрительной ячейки мощнее биномиальный критерий. Для подозрительной дуги — z-тест по секторуколесоСекторНепрерывная дуга ячеек на колесе — в отличие от группы чисел на игровом поле.Читать полностью → со страницы анализа секторов. Хи-квадрат — общий критерий: он говорит, что что-то не так, но не говорит что. Применяйте его первым, а потом смотрите глубже.
Формула
Вопросы
37 счётчиков в сумме дают n, поэтому свободно меняться могут только 36.
Колесо, в котором одна ячейка выпадает с вероятностью 1/25, за 10 000 спинов даст одно только слагаемое этой ячейки около 70; χ² заметно выше 100, а p практически равно нулю.
Технически да, при ожидаемых 5,4 на ячейку. Он ничего не обнаружит, пока ячейка не заклеена намертво.
Минутка юмора
Сложите квадраты удивлений. Сравните с 51,0.
Источники
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”