Замедление
Единственная по-настоящему предсказуемая часть спина.
Замедление шарика на дорожке следует плавной кривой, заданной трением и сопротивлением. По нескольким временам оборотов можно оценить время падения с точностью до доли секунды. Разброс после этого уничтожает большую часть такой точности.
Модель
Считайте, что шарикоборудованиеШарикМаленький шарик, который запускают по дорожке против вращения ротора. Современные шарики делают из айворина или тефлона, диаметр 18–21 мм.Читать полностью → замедляется под действием постоянного члена a (трение качения) и члена, пропорционального скорости b·v (сопротивление воздуха и потери, зависящие от скорости): dv/dt = −(a + bv). Решение — экспоненциальное приближение к критической скорости падения. Время круга T = 2πr/v поэтому растёт с каждым кругом на всё большую величину. Подберите a и b по первым нескольким кругам, и остальные круги, а с ними и время падения, следуют из этого. Ничего экзотического: это механика первого курса, применённая к шарику на дорожке.
Что даёт эта оценка
Время падения с точностью до 0,2 секунды вместе со скоростью ротораоборудованиеРоторВращающаяся часть колеса, на которой расположены ячейки.Читать полностью → 15 ячеекоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → в секунду определяет ячейку под точкой падения с точностью около трёх ячеек. Это хорошая новость для предсказателя. Плохая в том, что затем шарик пересекает скатоборудованиеСкатНаклонная зона между дорожкой шарика и ячейками, на которой расположены отбойники.Читать полностью →, бьётся об отбойникоборудованиеОтбойникОдно из металлических препятствий на скате, которые меняют путь падающего шарика. Другие названия: каноэ, ромб, штифт.Читать полностью → и скачет по перегородкамоборудованиеПерегородкаМеталлическая стенка между двумя ячейками колеса.Читать полностью →, и финальная ячейка оказывается разбросана по распределению шириной 20–30 ячеек. Точность фазы дорожки в основном съедается разбросом фазы падения.
Что остаётся
Если у распределения разброса есть мода, то есть шарик падает возле ячейки падения чаще, чем случайно, то ставка на секторколесоСекторНепрерывная дуга ячеек на колесе — в отличие от группы чисел на игровом поле.Читать полностью → вокруг предсказанной ячейки даёт небольшое преимущество. Смолл и Тсе (2012) измерили это в лаборатории с камерой и получили частоты попадания в предсказанный сектор, достаточные, чтобы сделать преимущество казиноматематикаПреимущество казиноДоля каждой ставки, которую казино в среднем оставляет себе: 2,70% в европейской рулетке.Читать полностью → отрицательным на несколько процентов. Их условия — полный вид сверху, известное колесо, ставки после запуска шарика — за живым столом не существуют.
Что меняется от часа к часу
Эти две константы не заданы для колеса раз и навсегда. Эвдемоны, которые в 1970-е годы годами засекали колесо из казино, выяснили, что больше всего шарик замедляет воздух, а не дорожка, и что важен сам шарик: тефлоновый терял скорость вдвое быстрее, чем шарик из того же композита, что и бильярдные шары. Они также видели, как их предсказания уплывают на 5–10% в час, когда открывали дверь или менялась погода, потому что влажный или плотный воздух замедляет шарик раньше. Поэтому в их программе были отдельные настройки для скорости замедления шарика и для скорости, на которой он сходит с дорожки, и игрок заново выставлял обе за каждым столом и снова всякий раз, когда предсказания начинали уплывать.
Зачем Лаборатория это объясняет
Не для того, чтобы кто-то мог это повторить. А чтобы показать, из чего на самом деле состоит случайность игры: из детерминированной фазы, которую казино защищают ранним закрытием ставок и минимумом оборотов, и хаотической фазы, которую они защищают отбойниками и низкими перегородками. Игрок, понимающий это, понимает, почему 2,70% надёжны.
Посчитайте сами
Засеките шарик мимо отбойника на любой трансляции на протяжении трёх кругов и экстраполируйте; вы будете в пределах одного круга от падения в большинстве случаев, и это детерминированная фаза, работающая так, как описано. Затем посмотрите, куда шарик на самом деле падает относительно ячейки под точкой падения, и ведите подсчёт пятьдесят спинов. Этот подсчёт — распределение разброса, и его ширина — ответ на вопрос «почему это нельзя обыграть?».
Формула
Вопросы
Нет. Трение зависит от пыли, влажности и износа. Предсказатели пересчитывают модель каждый спин.
Три дают грубую оценку; пять-шесть — хорошую. Минимум студий в четыре круга оставляет мало времени на ставку, а ставки к тому же закрываются.
Несколько человек и ненадолго, с устройствами, пока казино не приспособились и не появились законы. См. страницу об игре с преимуществом.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
В наглядной модели Торпа для замедляющегося шарикаоборудованиеШарикМаленький шарик, который запускают по дорожке против вращения ротора. Современные шарики делают из айворина или тефлона, диаметр 18–21 мм.Читать полностью →, если один оборот по дорожке занимает T секунд, шарику остаётся 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 оборота до того, как он сойдёт с дорожки. Сколько оборотов остаётся после оборота за полсекунды и после оборота за целую секунду? Насколько сдвигает предсказание ошибка засечки в 0,012 секунды при T = 0,8?
Показать решение
Ответ Около 9,5 оборота после круга за полсекунды и 2,85 после круга за секунду. Ошибка сдвигает предсказание примерно на 0,12 оборота, то есть примерно на 4½ ячейкиоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью →.
T = 0,5: 3T/20 = 0,075 и e^0,075 ≈ 1,0779, поэтому 1/0,0779 ≈ 12,84, и 12,84 − 3,33 ≈ 9,51 оборота. T = 1: e^0,15 ≈ 1,1618, 1/0,1618 ≈ 6,18, и 6,18 − 3,33 ≈ 2,85. Быстрый круг означает, что впереди много оборотов, а круг вдвое медленнее оставляет их меньше трети от прежнего.
При T = 0,8 формула даёт 4,51 оборота; при T = 0,812 — 4,39. Ошибка в 12 тысячных секунды — примерно за это время шарик прокатывается на собственную ширину — сдвигает предсказание на 0,12 оборота: это около 4½ ячеек колеса на 37 ячеек. Одна эта ошибка составляет большую часть тех 5,5 ячейки, которые расчёт ошибок Торпа отводит на засечку шарика (см. «Игра с преимуществом»), и именно поэтому возможности предсказателя ограничивают часы, а не арифметика.
Минутка юмора
Предсказуемо до падения. Потом отбойники.
Источники
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”