Разбор: сессия по мартингейлу
Десять долларов на красное, удвоение после каждого проигрыша, стол с лимитом $500. Спин за спином, включая тот, который всё заканчивает.
Смоделированная сессия по мартингейлу с банкроллом $1 000. Сорок один небольшой выигрыш, затем шесть проигрышей подряд и отклонённая седьмая ставка. Сессия заканчивается с минусом $220 после того, как была в плюсе на $410, — именно это система и делает.
План
Ставим $10 на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →. После проигрыша удваиваем. После выигрыша возвращаемся к $10. Лимит столастолЛимит столаМинимальная и максимальная разрешённая ставка. Именно максимум останавливает прогрессии с удвоением.Читать полностью → $500, поэтому ставки такие: 10, 20, 40, 80, 160, 320, а затем ставка $640, которую стол откажется принять. Шесть проигрышей подряд ломают систему; у каждой попытки на это (19/37)⁶ ≈ 1,8%, а в сессии из 100 спинов около 50 попыток. Ожидаемо: вероятность сломаться за 100 спинов около 60%, а тогда проигрыш составит $630.
Спины 1–30
Обычный мартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью →: серии из одного-трёх проигрышей, каждая завершается выигрышем с итогом +$10. К 30-му спину у нас 17 выигрышей, каждый закрывает цикл, и мы в плюсе на $170. Самая большая ставка пока что $80 после трёх проигрышей. Кажется, что это машина для печатания купюр по $10.
Спины 31–60
То же самое, с одним циклом из четырёх проигрышей (ставки до $160, затем выигрыш): на столе ненадолго оказалось $310, и это ощущалось как храбрость. После 60 спинов завершён 41 цикл, мы в плюсе на $410, а низшая точка банкролладеньгиБанкроллВся сумма, отложенная на игру. Управление банкроллом — это решение о том, какой его частью рисковать в одной ставке и в одной сессии.Читать полностью → была $1 040. Гистограмма любой сессии по мартингейлу большую часть времени выглядит именно так.
Спины 61–66
П П П П П П. Ставки 10, 20, 40, 80, 160, 320: проиграно $630. Следующая ставка была бы $640, а лимит $500. Система сломана. Можно поставить $500 (и даже при выигрыше остаться в минусе на $130 по циклу) или сбросить ставку до $10 и принять проигрыш. Шесть чёрныхставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью → или зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → подряд имеют вероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → 1,8% за цикл. Мы прошли около 45 циклов. Вероятность дойти до этого места где-нибудь за 45 циклов составляла около 55%. Это не невезение, а медиана.
- p10 −$1 000
- p25 −$1 000
- медиана −$1 000
- p75 +$790
- p90 +$1 690
Подсчёт
В плюсе на $410 после 60 спинов, в минусе на $220 после 66. Всего поставлено около $2 100 за 66 спинов против $660 у игрока с флэтом $10. Ожидаемый проигрышматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью → с $2 100 оборотаденьгиОборотОбщая сумма ставок за сессию или за период, включая повторно поставленные выигрыши. Другие названия: handle, action.Читать полностью → составляет $57; наш фактический −$220 — примерно треть стандартного отклоненияматематикаСтандартное отклонениеКвадратный корень из дисперсии; типичное расстояние результата от математического ожидания.Читать полностью → вниз, а для системы с длинным левым хвостом распределения это ничем не примечательно. Если бы мы остановились на 60-м спине со стоп-виномстратегияСтоп-винЗаранее заданная целевая сумма прибыли, при которой вы заканчиваете сессию.Читать полностью → $400, то ушли бы в плюсе на $410, а следующая сессия несла бы те же 1,8% за цикл.
Что показывает сессия
Мартингейл превращает ставку с вероятностью 48,65% в последовательность, которая выигрывает 98% своих циклов и теряет 63 единицыденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → в остальных 2%. Ожидаемый проигрыш на каждый доллар он не меняет; он умножает число долларов. Игрок с флэтом рядом с нами поставил втрое меньше и в среднем потерял втрое меньше. Игрок, который применяет эту систему год, будет выигрывать большинство вечеров и проиграет год.
Как часто случается проигрышная серия
Ставка на равные шансы на колесе с одним зеро проигрывает в 19 спинах из 37. Каждая строка — вероятность того, что все спины такой серии окажутся проигрышными, и сумма, которую к этому моменту проиграл игрок по мартингейлу, удваивающий ставку после каждого проигрыша.
| проигрышей подряд | вероятность | примерно 1 из | уже проиграно | след. ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Вероятность — это 19/37, умноженное само на себя по одному разу за каждый проигрыш; она считается от одного заданного спина. В длинной сессии много спинов, с которых может начаться такая серия, поэтому за вечер она гораздо вероятнее, чем показывает одна строка.
Вопросы
Систему сломают уже девять проигрышей вместо шести: 0,25% за цикл и $5 110 проигрыша, когда это случится. Обрыв реже, обрыв выше, те же −2,70%.
Ставка выиграла бы в 48,65% случаев и всё равно оставила бы цикл на −$130. После сломанного мартингейла хорошего хода нет; есть только размер следующей ставки, который вы выбираете.
Да, для этой сессии. Для среднего по всем сессиям — нет.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
За столом с лимитами от $1 до $500 игрок по мартингейлустратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → начинает со ставки $1 на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → на колесе с одним зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →. Сколько проигрышей подряд останавливают удвоение, сколько к тому моменту проиграно и как часто это случается?
Показать решение
Ответ Девять проигрышей: проиграно $511, а следующая ставка была бы $512. Это случается примерно один раз из 403 серий.
Ставки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и 256 — вместе $511. Десятая была бы $512, больше лимита. Ставка $500, даже выиграв, оставляет игрока в минусе на $11; проиграв — в минусе на $1 011.
Красное проигрывает с вероятностью 19/37, так что вероятность девяти проигрышей подряд — (19/37)⁹ ≈ 0,25%, примерно один раз из 403 серий. Каждая завершённая серия выигрывает $1, так что игрок может рассчитывать примерно на $402 мелких выигрышей до одного проигрыша в $511, а 2,70% от всех поставленных денег в среднем всё равно проиграны.
На колесе с двумя зеро вероятность — (20/38)⁹, примерно один раз из 323. Bollman (2021) приводит «около 1 из 833», а это (18/38)⁹ — вероятность девяти выигрышей подряд.
Минутка юмора
Сорок один небольшой выигрыш и один большой проигрыш. Вот и вся система.
Источники
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”