Задача: лимит стола
Мартингейл с базой $10 за столом с лимитом $500. Как часто он обрывается, сколько проигрывает в этот момент и помогает ли повышение лимита?
Шесть проигрышей подряд ломают систему: 1,8% на цикл, примерно 60% сессий из 100 спинов. Обрыв стоит $630. Если поднять лимит до $5 000, обрыв становится реже (0,25% на цикл) и крупнее ($5 110). Ожидаемый проигрыш на каждый поставленный доллар при любом лимите — 2,70%.
Задача
Игрок ставит $10 на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → и удваивает ставку после каждого проигрыша, а после выигрыша возвращается к базе. Максимум стола — $500. (а) Сколько проигрышей подряд ломают прогрессиюстратегияПрогрессияЛюбое правило, которое меняет ставку в зависимости от предыдущих результатов. Отрицательные прогрессии повышают её после проигрышей, положительные — после выигрышей.Читать полностью →? (б) Какова вероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → этого за цикл? (в) Сколько теряется при обрыве? (г) Как изменятся ответы при лимите $5 000? (д) Сделает ли какой-нибудь лимит систему прибыльной?
Решения (а)–(в)
Ставки: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Седьмая составила бы 640 > 500, поэтому система обрывается после шести проигрышей. (б) p(проигрыш) = 19/37 на красном; (19/37)⁶ = 0,0183, около 1,8% за цикл. Цикл длится в среднем около двух спинов, поэтому в сессии из 100 спинов примерно 50 циклов, и p(хотя бы один обрыв) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (в) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, то есть 63 базовые единицыденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → против тех $10, которые цикл пытался выиграть.
Решение (г)
При $5 000 допускаются ставки до 2 560; десятая ставка, 5 120, не принимается. Обрыв наступает после девяти проигрышей: (19/37)⁹ ≈ 0,25% за цикл, около 11% сессий из 100 спинов. Проигрыш при обрыве: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Игрок купил более редкую катастрофу ценой более крупной. На длинной дистанции ожидаемая цена обрывов — это p × проигрыш ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 за цикл при лимите $500 и 0,0025 × 5 110 = $12,8 при $5 000; с точностью до округления это одно и то же число, и это ожидаемый проигрышматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью → цикла за вычетом $10, которые приносят выигрышные циклы.
Решение (д)
Нет. Ожидаемый проигрыш за цикл = (ожидаемая сумма ставок в цикле) / 37 при любом лимите, потому что каждая ставка составляет −1/37 от себя самой. Лимит лишь определяет, как проигрыш распределяется между множеством мелких выигрышей и немногими крупными проигрышами. Без лимита и при бесконечном банкролледеньгиБанкроллВся сумма, отложенная на игру. Управление банкроллом — это решение о том, какой его частью рисковать в одной ставке и в одной сессии.Читать полностью → прогрессия «работала бы» в том смысле, что никогда не обрывалась бы, но при этом ставила бы неограниченную сумму с ожидаемым проигрышем 2,70% от этой неограниченной суммы. Лимит столастолЛимит столаМинимальная и максимальная разрешённая ставка. Именно максимум останавливает прогрессии с удвоением.Читать полностью → — не то, что мешает мартингейлустратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → работать. Мешает арифметика.
Два настоящих стола
Пример Торпа — стол с минимальной ставкой $1 и максимумом $1 000, за которым игрок надеется выиграть $30 на ужин, по доллару за раз. Ставки 1, 2, 4 … 512 дают десять ставок, поэтому десять проигрышей подряд ломают прогрессию: один раз из 785 циклов на европейском колесе (один раз из 613 на американском), ценой $1 023. Все тридцать циклов проходят успешно в 96,2% случаев. В остальных 3,8% проигрывается около $1 000, и средний результат вечера — −$9,17, ровно 1/37 от $339, которые тридцать циклов в среднем ставят. Стол с минимальной ставкой $5 и максимумом $2 000 ничем не отличается: ставки до $1 280 дают девять ставок, а обрыв случается один раз из 403 циклов на европейском колесе (один раз из 323 на американском) и стоит $2 555.
Богатый игрок
Дайте прогрессии вместо низкого лимита глубокий банкролл: 1 000 единиц, база в одну единицу и 1 000 спинов на красное, причём игрок начинает снова с одной единицы всякий раз, когда следующее удвоение больше того, что осталось. Мы смоделировали миллион таких вечеров. На европейском колесе 52% вечеров заканчиваются в плюсе, в 21% теряется всё, а средний результат — −124 единицы. Даже в игре без зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →, где каждая ставка честная, в плюсе заканчивались бы лишь около 60%. Обычный вечер — это небольшой выигрыш; за среднее платят вечера, которые заканчиваются нулём.
Вывод
Казино вводят лимиты, чтобы ограничить собственную дисперсиюматематикаДисперсияМера того, насколько широко результаты разбросаны вокруг математического ожидания. Высокая у прямой ставки, низкая у ставок на равные шансы.Читать полностью →, а не чтобы победить системы. Победа над мартингейлом — побочный эффект, который они рады получить, и арифметика победила бы его и так. Игрок, который считает проблемой лимит, нашёл обрыв и принял его за склон.
Формула
Вопросы
Он позволит дожить до более высокого лимита, где обрыв реже и крупнее. Ожидаемый проигрыш на доллар ставок не меняется.
Ставки 10, 30, 70, 150, 310: лимит $500 достигается после пяти проигрышей, и обрыв стоит $570. Те же 2,70%.
Чтобы один игрок не мог поставить больше, чем казино может спокойно выплатить из резерва. Управление дисперсией.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → начинается с $100 на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → и позволяет себе не больше n ставок за цикл: после n проигрышей подряд игрок сдаётся и начинает заново. Запишите средний результат одного цикла формулой от n и посчитайте его для 5, 6 и 7 ставок на европейском колесе.
Показать решение
Ответ Среднее равно 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 для 5 ставок, −$17,35 для 6 и −$20,52 для 7. Чем больше ставок разрешено, тем хуже средний цикл, а не лучше.
Цикл выигрывает $100, если только не проиграны все n ставок, а это происходит с вероятностью qⁿ, где q = 19/37. Когда проиграны все, ставки 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ в сумме дают 100 × (2ⁿ − 1). Значит, среднее равно 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Здесь 2q = 38/37, чуть больше 1, поэтому (2q)ⁿ растёт с n, а среднее падает: n = 5 даёт 1,1426 и −$14,26; n = 6 даёт 1,1735 и −$17,35; n = 7 даёт 1,2052 и −$20,52. Более длинная лестница проигрывает реже — в 3,6%, 1,8% и 0,9% циклов, — но каждый проигрыш вдвое больше, и за цикл через стол проходит больше денег, по 2,70% от каждой ставки.
На американском колесе 2q = 40/38, и цифры равны −$29,24, −$36,04 и −$43,20 (Тейлор, 2021). В игре без зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → 2q = 1, и каждый цикл в среднем даёт ровно ноль, какой бы длинной ни была лестница.
«Большой мартингейл» удваивает ставку после проигрыша и добавляет одну единицуденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →, так что ставки идут 1, 3, 7, 15, 31 … Сколько вы в плюсе, если первый выигрыш приходит на 1-й, 2-й, 3-й или k-й ставке? При единице $10 и максимуме $500 как часто цикл обрывается и сколько цикл стоит в среднем?
Показать решение
Ответ Выигрыш на k-й ставке оставляет вас в плюсе на k единиц: +1, +2, +3 и так далее. При $10 и $500 цикл обрывается после пяти проигрышей, в 3,57% циклов, на −$570. В среднем цикл проигрывает $2,32 из $85,73 поставленных: 2,70%.
k-я ставка равна 2ᵏ − 1 единиц: 1, 3, 7, 15, 31. Первые k − 1 ставок в сумме дают 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Выигрыш на k-й ставке приносит 2ᵏ − 1, поэтому цикл заканчивается в плюсе на (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k единиц: по одной лишней единице за каждый проигрыш перед выигрышем.
При единице $10 ставки равны $10, $30, $70, $150 и $310; следующая, $630, превышает максимум $500. Пять проигрышей подряд, (19/37)⁵ = 3,57%, стоят 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Среднее: выигрыши приносят $10 × k с вероятностью (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 при k от 1 до 5, а обрыв забирает $570 с вероятностью 3,57%; вместе −$2,32. Поставленная сумма в среднем составляет $85,73 за цикл, и 2,32/85,73 = 2,70%. Обычный мартингейл за тем же столом обрывается после шести проигрышей, в 1,83% циклов, на −$630, и проигрывает $1,74 из $64,20 поставленных: снова 2,70%.
Игрок собирается играть по мартингейлу на красное с первой ставкой $1 за столом с лимитом $1 000, так что возможно десять ставок: $1, $2, $4 и так далее до $512. Как часто цикл проигрывает все десять, сколько времени это занимает в среднем и как часто вечер из 200 ставок заканчивается именно так?
Показать решение
Ответ Цикл проигрывает все десять примерно один раз из 784, и это стоит $1 023. В среднем это около 1 600 ставок, а вечер из 200 ставок упирается в стену примерно в 11% случаев. Цикл всё равно в среднем проигрывает $0,31 из $11,31 поставленных: 2,70%.
Ставка на красное проигрывает с вероятностью 19/37, с учётом зеро. Десять раз подряд: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, примерно 1 из 784. Ставки 1 + 2 + 4 + … + 512 в сумме дают $1 023.
Цикл в среднем длится 2,05 ставки, так что 784 цикла занимают около 1 600 ставок. Если считать спин за спином, серия из десяти проигрышей встречается где-то среди 200 ставок в 11,3% случаев.
Между катастрофами игрок выигрывает $1 за цикл: около $783 до неудачного цикла, затем −$1 023, около −$240 за весь отрезок. На цикл: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Поставлено за цикл: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. И −0,31/11,31 = −2,70%.
Сравните первую ставку $10 при лимите $500, шесть ставок: стена встречается один раз за 55 циклов, а вечер из 200 ставок натыкается на неё в 84% случаев. Более высокий лимит делает крах реже и крупнее, но не дешевле.
Минутка юмора
Реже и крупнее при любом лимите. Произведение постоянно.
Источники
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.