Система Д’Аламбера
Добавьте одну единицу после проигрыша, уберите одну после выигрыша.
Эта система не обыгрывает колесо. Это самая плоская из распространённых прогрессийстратегияПрогрессияЛюбое правило, которое меняет ставку в зависимости от предыдущих результатов. Отрицательные прогрессии повышают её после проигрышей, положительные — после выигрышей.Читать полностью →: ставки медленно ползут вверх, просадки умеренные, преимущество казино не затронуто.
Пройдите по системе
Проигрыш сдвигает на один шаг вверх. Выигрыш возвращает на один шаг назад.
Ставки и результаты указаны в единицах базовой ставки.
Как работает система Д’Аламбера?
Поставьте одну единицуденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →. Проиграли — следующая ставка на одну единицу больше. Выиграли — на одну меньше, но не ниже одной. Вот и всё. Представьте качели-балансир: каждый проигрыш качает ставку на деление вверх, каждый выигрыш — обратно. В основе лежит вера, что выигрыши и проигрыши уравновесятся и ставка вернётся к базовой. Привлекательность в том, что каждая пара из одного выигрыша и одного проигрыша при соседних ставках даёт +1 единицу: проиграли 3, выиграли 4, итог +1.
Как выглядит сессия?
Спокойно, со ставкой, которая ползёт вверх. Так как на равные шансы проигрышей больше, чем выигрышей, 19 к 18, на длинной сессии ставка дрейфует вверх. Поскольку ставка наибольшая, когда вы проигрывали, и меньше, когда выигрывали, средняя ставка в проигрышных отрезках выше, чем в выигрышных. Сессии ровнее, чем у мартингейластратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью →, с умеренными просадкамиденьгиПросадкаПадение банкролла от пика до более позднего минимума в пределах сессии. Максимальная просадка — самое большое из таких падений.Читать полностью → и без обрыва, но в среднем проигрывают чуть больше, чем флэтстратегияФлэтСтавка одной и той же суммы на каждом спине. Точка отсчёта, с которой сравнивают любую прогрессию.Читать полностью →, потому что средняя ставка выше.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 −$500
- p90 −$500
Работает ли система Д’Аламбера?
Нет. Уравновешенная сессия выигрывает, но сессии не остаются уравновешенными. После w выигрышей и l проигрышей при соседних ставках чистый результат равен w − l единиц плюс поправка на то, где на лестнице вы находились. Если w = l, результат ровно +w единиц, что выглядит как гарантированная прибыль. Подвох в том, что w = l — не ожидаемый случай: за 37 спинов вы ожидаете 18 выигрышей и 19 проигрышей. Один лишний проигрыш при ставке, поднявшейся, скажем, до 8 единиц, стоит больше, чем принесли восемь пар по +1. Математическое ожидание получается −1/37 общего оборотаденьгиОборотОбщая сумма ставок за сессию или за период, включая повторно поставленные выигрыши. Другие названия: handle, action.Читать полностью →, как и должно быть.
Почему короткие сессии обычно заканчиваются в плюсе?
Сбалансированный случай — часть одного правила, которое охватывает любую сессию. Обозначим через D число проигрышей минус число выигрышей. Сессия из N спинов, начатая с одной единицы, заканчивается результатом (N − D²)/2 − D единиц, если ни одна ставка в одну единицу не выиграла (после такого выигрыша ставке некуда опускаться). При D = 0 это +N/2, то самое +w из предыдущего раздела. Каждый лишний проигрыш считается в квадрате: после 100 спинов при D = 4 остаётся ещё +38 единиц, при D = 8 — +10, а при D = 10 — −10. Одна лишь случайность разбрасывает D примерно на √N, то есть на десять после 100 спинов, и в игре без зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → выигрыши многих сбалансированных сессий и проигрыши немногих перекошенных в точности уравновешивают друг друга. Зеро добавляет в среднем один лишний проигрыш каждые 37 спинов, а поскольку D возводится в квадрат, его цена растёт быстрее длины сессии. Большинство сессий длиной до 100 спинов заканчиваются в плюсе; средний результат — никогда, а после нескольких сотен спинов в минусе оказывается и большинство сессий.
А если её перевернуть?
Контр-Д’Аламбер, его ещё называют обратным Д’Аламбером, добавляет единицу после выигрыша и убирает одну после проигрыша. Он в точности зеркален оригиналу. Пока ни одна ставка в одну единицу не проиграла, сессия из N спинов заканчивается результатом (D² − N)/2 + D единиц, где D теперь — число выигрышей минус число проигрышей. Сбалансированная сессия теряет половину единицы за спин, и прибыль даёт только серия, в которой выигрыши намного обгоняют проигрыши. Поэтому большинство сессий проигрывают немного, а немногие выигрывают много — форма, противоположная оригиналу, а в среднем те же 2,70% поставленных денег.
Кем был Д’Аламбер?
Жан Лерон Д’Аламбер, математик и соредактор «Энциклопедии», утверждал в статье 1754 года, что после серии орлов вероятность решки возрастает. Он ошибался, и названная его именем ошибка — одна из форм ошибки игрока. Систему ставок назвали в его честь позже игроки, разделявшие это убеждение. Он её не придумывал и, скорее всего, не одобрил бы.
Есть ли другие версии?
Контр-Д’Аламбер, описанный выше, ведёт себя как мягкая версия паролистратегияПаролиПоложительная прогрессия: удвоение после выигрыша, сброс после проигрыша или после трёх выигрышей подряд. Другое название: обратный мартингейл.Читать полностью →. Некоторые игроки добавляют две единицы после проигрыша и вычитают одну после выигрыша, что делает лестницу круче и приближает её к мартингейлу. У всех версий одинаковый ожидаемый проигрышматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью → на единицу ставок.
Симулятор · Система Д’Аламбера
2 000 сессий ставок на равные шансы с банкроллом $1 000.
Базовая ставка $10 · лимит стола $500 · 100 спинов за сессию
Как часто случается проигрышная серия
Ставка на равные шансы на колесе с одним зеро проигрывает в 19 спинах из 37. Каждая строка — вероятность того, что все спины такой серии окажутся проигрышными, и сумма, которую к этому моменту проиграл игрок по системе Д’Аламбера, который после каждого проигрыша повышает ставку на одну базовую.
| проигрышей подряд | вероятность | примерно 1 из | уже проиграно | след. ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $3 |
| 3 | 13,5% | 7 | $6 | $4 |
| 4 | 7,0% | 14 | $10 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $15 | $6 |
| 6 | 1,8% | 55 | $21 | $7 |
| 7 | 0,94% | 106 | $28 | $8 |
| 8 | 0,48% | 207 | $36 | $9 |
| 9 | 0,25% | 403 | $45 | $10 |
| 10 | 0,13% | 784 | $55 | $11 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $66 | $12 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $78 | $13 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $91 | $14 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $105 | $15 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $120 | $16 |
Вероятность — это 19/37, умноженное само на себя по одному разу за каждый проигрыш; она считается от одного заданного спина. В длинной сессии много спинов, с которых может начаться такая серия, поэтому за вечер она гораздо вероятнее, чем показывает одна строка.
Вопросы
В ней нет обрыва, и поэтому это самая мягкая отрицательная прогрессия. Она не дешевле флэта; она чуть дороже.
Только лимит столастолЛимит столаМинимальная и максимальная разрешённая ставка. Именно максимум останавливает прогрессии с удвоением.Читать полностью → или ваш банкроллденьгиБанкроллВся сумма, отложенная на игру. Управление банкроллом — это решение о том, какой его частью рисковать в одной ставке и в одной сессии.Читать полностью →. В длинной проигрышной сессии она растёт неуклонно.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
Вы играете по системе Д’Аламбера на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → 50 спинов, начиная с одной единицыденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →, и ни разу не выигрываете ставку в одну единицу (после такого выигрыша ставке некуда было бы опускаться). У вас 27 проигрышей и 23 выигрыша. Сколько единиц вы в плюсе или в минусе? А при 29 проигрышах и 21 выигрыше?
Показать решение
Ответ +13 единиц при 27 проигрышах, −15 единиц при 29. Два спина из пятидесяти, ушедшие в другую сторону, стоят 28 единиц.
Обозначим через D проигрыши минус выигрыши. Результат за N спинов равен (N − D²)/2 − D. При 27 проигрышах и 23 выигрышах D = 4: (50 − 16)/2 − 4 = 17 − 4 = +13. При 29 и 21 D = 8: (50 − 64)/2 − 8 = −7 − 8 = −15.
Почему правило верно: ставка всегда равна одной единице плюс число проигрышей до этого момента минус число выигрышей. Каждый проигрыш, который потом отменяет выигрыш, образует пару — проиграть s, затем выиграть s + 1, — и эта пара даёт чистые +1 единицу, как показывает таблица выше. Из N спинов образуется (N − D)/2 таких пар, они стоят +(N − D)/2. Оставшиеся D проигрышей пришлись на ставки 1, 2 … D по пути вверх и так и не были отменены; они стоят 1 + 2 + … + D = D(D + 1)/2. Вместе: (N − D)/2 − D(D + 1)/2 = (N − D²)/2 − D.
Всё дело в квадрате. Сбалансированная сессия приносит половину единицы за спин, а каждый шаг от баланса стоит больше предыдущего.
Вы играете по обратной системе Д’Аламбера на красное 100 спинов, начиная с одной единицы, и ни одна ставка в одну единицу ни разу не проигрывает. У вас 52 выигрыша и 48 проигрышей. Каков итог? А при 60 выигрышах и 40 проигрышах?
Показать решение
Ответ −38 единиц при 52 выигрышах, +170 при 60. Небольшой перевес выигрышей всё равно приносит проигрыш; платит только большой.
Обозначим через D выигрыши минус проигрыши. Результат за N спинов равен (D² − N)/2 + D.
52 выигрыша и 48 проигрышей: D = 4, поэтому (16 − 100)/2 + 4 = −42 + 4 = −38.
60 выигрышей и 40 проигрышей: D = 20, поэтому (400 − 100)/2 + 20 = 150 + 20 = +170.
Почему: каждый выигрыш, который потом отменяет проигрыш, образует пару — выиграть s, затем проиграть s + 1, — и эта пара даёт чистые −1. Оставшиеся D выигрышей пришлись на ставки 1, 2 … D по пути вверх и так и не были отменены; они приносят D(D + 1)/2. Из N спинов образуется (N − D)/2 пар, так что итог равен D(D + 1)/2 − (N − D)/2 = (D² − N)/2 + D.
Это правило исходной системы Д’Аламбера с обратными знаками: там баланс приносит половину единицы за спин, а дисбаланс наказывается; здесь баланс стоит половину единицы за спин, а дисбаланс вознаграждается.
Минутка юмора
Назван в честь математика, который ошибся с монетой.
Источники
- d’Alembert, J. “Croix ou pile.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.