Математика · Прикладное · 13 мин

Риск разорения

Q: Снижает ли прогрессия риск разорения?

Мартингейл снижает его на коротких сессиях и резко повышает на длинных. Флэт с более крупной единицей — честный способ его снизить.

Вероятность потерять весь банкролл до достижения цели.

Короткий ответ

Для ставок на равные шансы риск разорения следует формуле из задачи о разорении игрока. При банкролле $500, ставках по $10 и цели $600 вы достигаете цели примерно в 57% случаев, а в остальных разоряетесь.

формула

задача о разорении игрока

p (равные шансы)

18/37

q/p

1,0556

древнейший результат

Паскаль–Ферма, 1656

Вопрос

У вас a единицденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → банкролладеньгиБанкроллВся сумма, отложенная на игру. Управление банкроллом — это решение о том, какой его частью рисковать в одной ставке и в одной сессии.Читать полностью →, и вы хотите дойти до a + b единиц, ставя по одной единице за раз на ставку на равные шансыставкаСтавка на равные шансыКрасное/чёрное, нечёт/чёт, большие/малые. 18 чисел, выплата 1:1.Читать полностью → с вероятностьюматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → выигрыша p = 18/37 и вероятностью проигрыша q = 19/37. Какова вероятность достичь цели раньше, чем вы дойдёте до нуля? Ответ нашли Паскаль, Ферма и Гюйгенс в 1650-х годах, и это один из древнейших результатов теории вероятностей.

Блез Паскаль

Формула из задачи о разорении игрока

P(цель достигнута) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Риск разоренияматематикаРиск разоренияВероятность проиграть весь банкролл раньше, чем будет достигнута цель или заданное число спинов.Читать полностью → равен единице минус это значение. При q/p = 19/18 ≈ 1,0556 отношение растёт экспоненциально по числу единиц, поэтому формула сурово наказывает за малые единицы: чем больше ставок нужно до цели, тем больше раз по дороге выплачивается пошлина в 2,70%.

БанкроллЕдиницаЦельСтавок до целиp(цель достигнута)Риск разорения

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1 00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1 0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1 000148,6%51,4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Ставки на равные шансы, одинаковый размер ставки, без la partage. Калькулятор риска разорения считает по любым числам.

Как это читать

Малые единицы вредят. Попытка удвоить $500 ставками по $10 удаётся в 6% случаев; одной ставкой в $500 — в 48,6% случаев. Смелая игра, то есть меньше ставок и крупнее, максимизирует вероятность достичь цели в игре с отрицательным ожиданием, потому что минимизирует число случаев, когда действует преимущество казино. Она же максимизирует дисперсиюматематикаДисперсияМера того, насколько широко результаты разбросаны вокруг математического ожидания. Высокая у прямой ставки, низкая у ставок на равные шансы.Читать полностью → того, что с вами происходит, и быстро заканчивает вечер. Теорема называется «смелая игра оптимальна», и её доказали Дубинс и Сэвидж в 1965 году.

Вероятность превратить $500 в $1 000 на красном%

одна ставка $500

48,6%

ставки по $100

≈ 43%

ставки по $50

≈ 37%

ставки по $20

≈ 21%

ставки по $10

≈ 6%

ставки по $5

≈ 0,5%

024,3048,6%

Чем больше ставок, тем чаще платится преимущество казино. Робкая игра обходится дорого.

С чего началась задача

Этот вопрос старше рулетки. В 1656 году Паскаль предложил Ферма задачу: два игрока бросают три кости, у каждого вначале по 12 жетонов; бросок с суммой 11 передвигает жетон в одну сторону, бросок с суммой 14 — в другую. Решили её оба, а Гюйгенс, узнавший о ней из письма математика Пьера де Каркави, напечатал её в 1657 году как пятую задачу первой книги о теории вероятностей — с ответом, но без доказательства. Одиннадцать можно выбросить 27 способами, а четырнадцать — всего 15, поэтому каждый жетон в 9 случаях из 14 уходит в пользу первого игрока, и по формуле выше при 12 жетонах у каждого вероятность, что он заберёт всё, примерно в 1 157 раз больше вероятности, что он всё потеряет. Преимущество в 2,70% гораздо меньше, но та же формула показывает, что оно делает на множестве ставок.

Настоящая смелая ставка

В апреле 2004 года Эшли Ревелл, молодой англичанин, продал почти всё, что у него было, включая одежду, и привёз $135 300 в казино Plaza в Лас-Вегасе. После нескольких мелких ставок он поставил всю сумму на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → — один раз. ШарикоборудованиеШарикМаленький шарик, который запускают по дорожке против вращения ротора. Современные шарики делают из айворина или тефлона, диаметр 18–21 мм.Читать полностью → остановился на красном 7, и Ревелл ушёл с $270 600. На колесе с двумя зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → вероятность выиграть на этом единственном спине была 47,37%, а в среднем спин обошёлся ему в $7 121 — это преимущество 5,26% на одной ставке. Ставками по $10 той же цели было бы почти безнадёжно добиться. Смелая игра не делает ставку хорошей; она делает её как можно короче.

Риск разорения без цели

Если вы просто играете, пока не разоритесь, или останавливаетесь после N спинов, вопрос звучит так: «какова вероятность, что мой банкролл коснётся нуля за N спинов?». Общей формулы для произвольного N нет, но симуляторы на этом сайте её считают: банкролл $500 при ставке $10 на красное почти никогда не разоряется за 100 спинов (меньше 1%), разоряется примерно в 9% случаев за 500 спинов и примерно в 95% случаев за 5 000. Без правила остановки вероятность стремится к 100%, и это версия преимущества казиноматематикаПреимущество казиноДоля каждой ставки, которую казино в среднем оставляет себе: 2,70% в европейской рулетке.Читать полностью → на длинной дистанции.

Десять сессий, банкролл $500, $25 на красное, 200 спиноврезультат относительно старта

1 000 сессий × 500 спинов · фиолетовые p10/p25/p75/p90, голубая медиана, 81 бледная выборочная линия · ведите курсором по графику, чтобы увидеть квантили на нужном спине

p10 −$500
p25 −$500
медиана −$500
p75 +$0
p90 +$350

1 000 сессий × 500 спинов · ось Y обрезана по 1–99-му перцентилю (крайние значения от −$500 до +$1 500) · 500 спинов · базовая ставка $25 · равные шансы

Линии, коснувшиеся дна, разорены. С меньшей единицей они продержались бы дольше и закончили бы там же.

Сходимость на длинной дистанции

Как долго и насколько в плюсе

Ещё два классических результата отвечают на вопросы, которые игроки действительно задают. Без цели ставки одного размера на равные шансы длятся в среднем 37 спинов на каждую единицу банкролла на европейском колесе и 19 — на американском, потому что каждый спин в среднем забирает 1/37 единицы (1/19 на американском колесе): 100 единиц в среднем хватает на 3 700 спинов, хотя половина таких сессий заканчивается за 3 134 спина (см. «Длина сессии и её цена»). И каким бы большим ни был банкролл, вероятность на европейском колесе когда-либо оказаться в плюсе на k единиц равна (18/19)ᵏ. Это 95% для одной единицы и 58% для десяти, но никакой банкролл, сколь угодно глубокий, не даёт даже половинной вероятности когда-либо оказаться в плюсе на 13 единиц; на американском колесе вероятность равна (9/10)ᵏ и опускается ниже половины уже при 7 единицах.

Единиц в плюсе, в любой моментЕвропейскаяАмериканская

194,7%90,0%

576,3%59,0%

1058,2%34,9%

1349,5%25,4%

2033,9%12,2%

506,7%0,5%

1000,45%0,003%

Ставки на равные шансы, одинаковый размер ставки, банкролл настолько большой, что никогда не кончится. Вероятность равна (18/19)ᵏ на колесе с одним зеро и (9/10)ᵏ на колесе с двойным зеро.

Длина сессии и её цена Американская рулетка

Банкролл для шанса пятьдесят на пятьдесят

Переверните вопрос: сколько нужно принести, чтобы с вероятностью не меньше половины выиграть заданную сумму, прежде чем проиграть всё? Для маленького выигрыша — немного. Для большего нужный банкролл круто растёт, а после некоторой точки никакого банкролла не хватит, потому что даже бесконечный даёт меньше половинной вероятности когда-либо оказаться настолько в плюсе. Тейлор (2021) формулирует это иначе: на американском колесе, чтобы с вероятностью не меньше половины дойти до 100 единиц, нужно начать с 94, рискуя 94 ради выигрыша 6. На европейском колесе понадобилось бы 88.

ВыигрышЕвропейскаяАмериканская

1 единица22

2 единицы33

3 единицы45

4 единицы68

5 единиц712

6 единиц921

7 единиц12никакого банкролла не хватит

8 единиц15никакого банкролла не хватит

10 единиц24никакого банкролла не хватит

12 единиц46никакого банкролла не хватит

13 единиц и большеникакого банкролла не хватитникакого банкролла не хватит

Наименьший банкролл в единицах, при котором вероятность выиграть эту сумму раньше, чем будет проигран банкролл, не меньше половины; ставки одного размера на равные шансы. Наш расчёт по формуле выше.

Практический вывод

Решите, чего вы добиваетесь. Если цель — конкретный выигрыш, ставьте крупно и редко. Если цель — долгий вечер, ставьте мало и примите, что преимущество казино возьмёт свои 2,70% с большого оборотаденьгиОборотОбщая сумма ставок за сессию или за период, включая повторно поставленные выигрыши. Другие названия: handle, action.Читать полностью →. Если цель — и то и другое, чем-то придётся пожертвовать, и обычно это цель.

Формула

P(цель) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

риск разорения = 1 − P(цель)

q/p = 19/18 для равных шансов

среднее число спинов до разорения без цели = 37 × единицы

P(когда-либо в плюсе на k единиц) = (18/19)ᵏ

Вопросы

Снижает ли прогрессия риск разорения?

МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → снижает его на коротких сессиях и резко повышает на длинных. ФлэтстратегияФлэтСтавка одной и той же суммы на каждом спине. Точка отсчёта, с которой сравнивают любую прогрессию.Читать полностью → с более крупной единицей — честный способ его снизить.

А прямые ставки?

Формула выше — для равных шансов. Для ставок с высокой дисперсией разорение вероятнее при малых ставках, а цель достигается более рывками; пользуйтесь калькулятором.

Почему q/p — ключевая величина?

Каждый шаг к цели чуть менее вероятен, чем каждый шаг к разорению; отношение накапливается по числу шагов.

Математика для удовольствия

Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.

У вас $100, а нужно $1 000, и вы ставите только на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →. План первый: ставить по $1. План второй: ставить всё, что есть, пока сумма не превысит $500, а потом ровно столько, сколько нужно до $1 000. Какой план лучше и насколько?
Показать решение
Ответ Второй, с огромным отрывом. Он доходит до $1 000 примерно в 9,0% случаев, близко к честным 10%. Первый план удаётся примерно 7 раз из 10²².
В честной игрематематикаЧестная играИгра, в которой ни у одной стороны нет преимущества: математическое ожидание каждой ставки равно нулю.Читать полностью → вы дошли бы от $100 до $1 000 один раз из десяти, что бы вы ни делали, потому что средняя стоимость ваших денег остаётся $100.
Преимущество казино забирает 2,70% каждой ставки, так что чем меньше вы поставите в сумме, тем ближе останетесь к одному из десяти. План второй решает дело за несколько ставок: $100 превращаются в $200, $400, $800, а потом хватает $200. Он удаётся примерно в 9,0% случаев. Плану первому нужны тысячи ставок, прежде чем блуждание закончится, и преимущество, маленькое в каждой из них, складывается в почти верное разорение.
Это результат Дубинса и Сэвиджа в простейшем виде (Эпстайн, 2013): в игре, где перевес у казино, ставьте столько, сколько нужно, и как можно меньше раз.
У вас $500, а нужно $1 000, и вы останавливаетесь, как только их получите. Вы выбираете один вид ставки и повторяете его, пока он не выиграет один раз или деньги не кончатся. Какой вид даёт лучшую вероятность?
Показать решение
Ответ Одна ставка $500 на красное: 48,6%. Любой план, который раскладывает деньги на ставки поменьше, работает хуже.
Выберите каждую ставку так, чтобы хватило одного выигрыша: $30 прямой ставкойставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью → выигрывают $1 050, $60 на сплитставкаСплитДва соседних числа, выплата 17:1.Читать полностью → выигрывают $1 020 и так далее. Затем посчитайте вероятность, что хотя бы одна ставка выиграет до того, как деньги кончатся. Шестнадцать прямых ставок по $30 все промахиваются с вероятностью (36/37)¹⁶ = 64,5%, так что до $1 000 они доходят в 35,5% случаев.
В таблице — каждая ставка. Красное лучше всех, потому что доходит до цели одной ставкой, так что преимущество казино платится один раз, с $500. Сикс-лайнставкаСикс-лайнШесть чисел в двух соседних рядах, выплата 5:1. По-французски: sixain.Читать полностью → на втором месте, потому что ему нужно всего три ставки. Одна ставка на дюжинуставкаДюжина1–12, 13–24 или 25–36, выплата 2:1.Читать полностью → хуже всех — вероятность 12/37; даже если играть на неё единицамиденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → по $250, пока не наберётся $1 000 или больше, дюжина доходит до цели лишь в 46,4% случаев.
Боллман (2024) строит такую же таблицу для американского колеса. В его строке дюжины описка: там должно стоять 12/38 = 31,6%.
СтавкаСумма × число ставокВероятность дойти до $1 000
Прямая ставка$30 × 1635,5%
Сплит$60 × 835,9%
Стрит$90 × 534,5%
Каре$125 × 436,7%
Сикс-лайн$166, $166, $16841,2%
Дюжина$500 × 132,4%
Красное$500 × 148,6%
Вы ставите одну единицу на красное спин за спином, с банкролломденьгиБанкроллВся сумма, отложенная на игру. Управление банкроллом — это решение о том, какой его частью рисковать в одной ставке и в одной сессии.Читать полностью →, который никогда не кончается. После первого спина вы на единицу в плюсе или на единицу в минусе. Какова вероятность, что вы когда-нибудь снова окажетесь ровно при своих?
Показать решение
Ответ 36 из 37, 97,3%. На американском колесе — 36 из 38, 94,7%.
Если первый спин выигрывает (18 раз из 37), вы на единицу в плюсе, а преимущество казино тянет вниз любую бесконечную сессию, так что рано или поздно вы снова пройдёте через ноль: это достоверно. Если он проигрывает (19 раз из 37), вам нужно подняться на единицу, а вероятность когда-либо оказаться на единицу в плюсе равна 18/19 (см. таблицу выше).
Вместе: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
В общем случае вероятность равна 1 минус разность вероятностей выиграть и проиграть спин: 1 − 1/37 на европейском колесе, 1 − 2/38 на американском. В игре без зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → разности нет и вероятность равна 1: счёт всегда возвращается к нулю. Общее правило приводит Эпстайн (2013).
Задача Паскаля 1656 года: два игрока бросают три кости, у каждого вначале по 12 жетонов. Каждые 11 очков передают жетон первому игроку, каждые 14 — второму; другие броски не в счёт. Какова вероятность, что первый игрок выиграет все 24? А если вместо этого вы каждый спин ставите 1 единицу на красное против друга, который играет роль банка, и у каждого по 12 единиц, какова вероятность, что вы выиграете все 24?
Показать решение
Ответ Первый игрок выигрывает примерно 1 157 раз из 1 158. Вы, ставя на красное, выигрываете все 24 единицы лишь примерно в 34% случаев.
Три кости дают 11 очков 27 способами, а 14 — 15 способами, поэтому каждый жетон, который переходит из рук в руки, достаётся первому игроку 27 раз из 42, то есть 9 раз из 14. Когда у каждой стороны вначале по 12, вероятность забрать всё равна 1/(1 + r¹²), где r — отношение вероятности другой стороны к вашей.
Для первого игрока r = 5/9, и (5/9)¹² ≈ 0,00086, так что вероятность примерно 0,99914: шансы 9¹² к 5¹², или 282 429 536 481 к 244 140 625, примерно 1 157 к 1. Именно эти числа Гюйгенс напечатал в 1657 году.
На красном r = 19/18 из-за зеро, и (19/18)¹² ≈ 1,913: ваша вероятность 1/2,913 ≈ 34,3%. Монета дала бы 50%. Преимущество 2,70% на каждой ставке за множество нужных ставок складывается в разрыв в 16 пунктов.

Минутка юмора

$Смелая игра оптимальна. Она же быстро заканчивается.$

Смелая игра оптимальна. Она же быстро заканчивается.

Источники

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 3-е изд., 1968. Разорение игрока, глава XIV.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Письмо Гюйгенсу от 28 сентября 1656 года о задаче, которую Паскаль предложил Ферма. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, т. 1, 1888, с. 492–494.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Первое печатное изложение математического ожидания.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. Глава 13, рулетка.
Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.” Апрель 2004 года.
Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.” 12 апреля 2004 года.

проверено 2026-09-28модель: европейская, одно зерометодология ↗источники ↗