Вероятность серий
Длинные серии одного цвета — обычное дело. И для следующего спина они ничего не значат.
Пять красных подряд: 2,7%. Десять: 0,074%. За сессию из 200 спинов серия из шести одного цвета встречается чаще, чем не встречается.
Как часто случается проигрышная серия
Ставка на равные шансы на колесе с одним зеро проигрывает в 19 спинах из 37. Каждая строка — вероятность того, что все спины такой серии окажутся проигрышными, и сумма, которую к этому моменту проиграл игрок по мартингейлу, удваивающий ставку после каждого проигрыша.
| проигрышей подряд | вероятность | примерно 1 из | уже проиграно | след. ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Вероятность — это 19/37, умноженное само на себя по одному разу за каждый проигрыш; она считается от одного заданного спина. В длинной сессии много спинов, с которых может начаться такая серия, поэтому за вечер она гораздо вероятнее, чем показывает одна строка.
Одна серия
ВероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → того, что следующие k спинов подряд окажутся краснымиставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →, равна (18/37)ᵏ. Два: 23,7%. Пять: 2,7%. Десять: 0,074%, около 1 из 1 350. Двадцать: 1 из 1,8 миллиона. Двадцать шесть, рекорд Монте-Карло: 1 из 137 миллионов. Это вероятности конкретной серии, начинающейся в конкретном спине, а такой вопрос не задаёт почти никто.
В сессии
Люди имеют в виду вопрос «появится ли где-нибудь в моей сессии серия из k?», и ответ гораздо больше (18/37)ᵏ, потому что в сессии из 200 спинов почти 200 мест, где серия может начаться. Серия из шести и более одного цвета, красного или чёрногоставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью →, появляется в сессии из 200 спинов примерно в 94% случаев; из восьми и более — примерно в 47%; из десяти и более — примерно в 14%. Если назвать цвет заранее, вероятности падают — примерно до 75%, 27% и 7%. Игрок, который сидит весь вечер, будет видеть длинные серии каждый вечер.
Почему это важно для мартингейла
У каждой отрицательной прогрессиистратегияПрогрессияЛюбое правило, которое меняет ставку в зависимости от предыдущих результатов. Отрицательные прогрессии повышают её после проигрышей, положительные — после выигрышей.Читать полностью → есть длина серии, которая её ломает: шесть проигрышей при базе $10 и лимите $500, десять для системы ФибоначчистратегияСистема ФибоначчиПрогрессия по последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: один шаг вперёд после проигрыша, два шага назад после выигрыша.Читать полностью →, пять для утроения на дюжинахставкаДюжина1–12, 13–24 или 25–36, выплата 2:1.Читать полностью →. Вероятность проигрышной серии из шести на равных шансах — (19/37)⁶ ≈ 1,8% на попытку, а сессия из 200 спинов содержит примерно 100 попыток, так что обрыв наступает примерно в четырёх сессиях из пяти такой длины. Вероятности серий — причина того, что обрыв не редкость.
Горячие и холодные числа
Та же арифметика применима к прямым ставкамставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью →. За 300 спинов ожидаемое число выпадений каждого числа — 8,1; стандартное отклонениематематикаСтандартное отклонениеКвадратный корень из дисперсии; типичное расстояние результата от математического ожидания.Читать полностью → — около 2,8. Одно число выпадет 15 раз, а другое 2 раза, и одной случайностью это объясняется каждый раз. Табло результатов, подсвечивающее «горячие» числа, подсвечивает верх нормального распределения. В Лаборатории объясняется, сколько спинов нужно, чтобы горячее числомифГорячее числоЧисло, которое в последнее время выпадало чаще ожидаемого. На честном колесе оно ничего не предсказывает.Читать полностью → хоть что-то значило (тысячи, с одного определённого колеса).
Вся суть в независимости
Серия из десяти красных не делает чёрное более вероятным, и красное она тоже не делает более вероятным. Вероятность обоих — 18/37. Серии — свойство случайных последовательностей, и подозрительным было бы их отсутствие: последовательность из 200 спинов, где нет серии длиннее четырёх, была бы куда более сильным свидетельством подтасовки, чем последовательность с серией из двенадцати.
Формула
Вопросы
26 чёрных в Монте-Карло 18 августа 1913 года — самая известная. О 32 красных подряд сообщалось в американском казино в 1943 году. Обе согласуются со случайностью, если учесть, сколько спинов проходит в казино.
В любом случае вероятность 18/37. Ставьте то, что говорит ваш план, или не ставьте ничего.
Нет. Смещение проявляется в том, что некоторые ячейкиоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → выпадают чаще на протяжении тысяч спинов, а не в сериях одного цвета.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
Сколько спинов европейского колеса нужно в среднем, чтобы каждое из 37 чисел выпало хотя бы один раз?
Показать решение
Ответ В среднем около 155 спинов; медиана — 147.
Считайте ожидание по одному новому числу за раз. Первый спин всегда даёт новое число. Когда вы видели 1 число, новыми остаются 36 ячеекоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → из 37, так что следующее новое число требует в среднем 37/36 спина. Когда вы видели k чисел, нужно 37/(37 − k).
Сложите ожидания: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 спина.
Большая часть приходится на конец. Одно последнее число требует в среднем 37 спинов, а последние пять — около 85. На американском колесе та же сумма даёт около 161. Это задача о собирателе купонов; Wizard of Odds приводит то же среднее.
Сколько разных чисел стоит ожидать за 37 спинов европейского колеса, по одному спину на каждую ячейку?
Показать решение
Ответ Около 23,6. Примерно треть чисел, около 13, не выпадает вовсе.
Возьмите одно число, скажем 17. В каждом спине оно не выпадает с вероятностью 36/37, поэтому пропускает все 37 спинов с вероятностью (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
У каждого числа та же вероятность, так что в среднем 37 × 0,363 ≈ 13,4 числа не выпадают, а 37 − 13,4 ≈ 23,6 выпадают, многие из них по два раза и больше.
Игроки в рулетку называют это законом третей. Это не закон, а просто арифметика повторов: в серии длиной с колесо около трети чисел не выпадает, на честном колесе так же, как на любом другом. На 38 ячейках доля тоже (37/38)³⁸ ≈ 0,363; для большого колеса она приближается к 1/e ≈ 0,368.
Друг показывает вам два списка из 50 цветов, красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → или чёрноеставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью →, — якобы с колеса, где зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → пропущены. В одном цвет меняется 25 раз, а самая длинная серия — шесть. В другом цвет меняется 35 раз, и серия ни разу не длиннее трёх. Какой из них выдуман?
Показать решение
Ответ Второй. В настоящем списке цвет меняется примерно 24 или 25 раз. Список с 35 сменами попадается примерно раз на 500 списков, а список без серий длиннее трёх — примерно дважды на 100.
Каждый новый цвет либо повторяет предыдущий, либо меняется — пополам, так что 49 возможностей смены дают в среднем 24,5 смены, плюс-минус около 3,5. Тридцать пять — на три таких шага выше среднего; честное колесо даёт столько смен примерно раз на 500 списков.
Серии говорят то же самое. В настоящем списке из 50 серия из четырёх и более встречается примерно в 98% случаев, а самая длинная серия чаще всего — пять или шесть.
Люди, которых просят придумать случайный список, меняют цвет слишком часто, потому что серия из четырёх или пяти кажется им закономерностью. Тейлор (2021) показывает ту же примету в списках бросков монеты, придуманных студентами: настоящая случайность богаче сериями, чем ожидают люди.
В книге историй о казино рассказывается об игроке, чьё число выпало пять раз подряд, и это названо рекордом. Насколько это редко на европейском колесе? И как часто это должно случаться где-нибудь в одном казино с 20 столами, за каждым из которых делают 40 спинов в час, днём и ночью?
Показать решение
Ответ Названное заранее число пять раз подряд: 1 из 69 миллионов. Любое число, которое после первого выпадения выпадает ещё четыре раза: 1 из 1,87 миллиона. В таком казино около 7 миллионов спинов в год, так что серию из пяти там следует ожидать три-четыре раза в год.
Названное число выпадает на каждом спине с вероятностью 1/37, поэтому вероятность пяти подряд равна (1/37)⁵ = 1 из 69 343 957. Но заранее число никто не называет. Что бы ни выпало первым, следующие четыре спина должны его повторить: (1/37)⁴ = 1 из 1 874 161.
20 столов × 40 спинов × 24 часа × 365 дней = 7 008 000 спинов в год. Каждый спин может начать серию, поэтому казино ожидает 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 серии из пяти в год.
Официального рекорда такого рода нет, и он не нужен: редкое событие за одним столом — обычное дело в масштабах казино, а истории рассказывают о том столе, где это случилось. У Голдмана (2007) эта история происходит на колесе с двумя зеро, где цифры — 1 из 79 миллионов и 1 из 2,09 миллиона.
Минутка юмора
Длинные серии — вот как выглядит случайность.
Источники
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.