Ошибка игрока
Убеждение, что результату «пора выпасть», потому что его давно не было.
После десяти красных вероятность чёрного по-прежнему 18/37. Колесо не ведёт учёта и ничего не должно.
В чём ошибка
Если красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → выпало десять раз, многим игрокам кажется, что чёрномуставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью → «пора выпасть», и они ставят соответственно. Другие считают красное «горячим» и ставят на него. И те и другие рассуждают от последовательности, которая уже закончилась, к спину, которого ещё не было. ШарикоборудованиеШарикМаленький шарик, который запускают по дорожке против вращения ротора. Современные шарики делают из айворина или тефлона, диаметр 18–21 мм.Читать полностью → не знает, какими были последние десять спинов; ячейкиоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → такого же размера, как час назад; вероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → чёрного равна 18/37, как и всегда.
Почему это кажется верным
На длинной дистанции доли красного и чёрного действительно сходятся к 18/37 каждая. Закон больших чиселматематикаЗакон больших чиселСреднее независимых результатов сходится к математическому ожиданию по мере роста числа испытаний.Читать полностью → это гарантирует. Но сходимость происходит за счёт разбавления, а не поправки: после ещё 1 000 спинов десять лишних красных превращаются в ошибку округления в доле, и не потому, что чёрное догнало, а потому, что выборка выросла. Нет механизма, который делал бы чёрное более вероятным, и закону больших чисел он не нужен.
Монте-Карло, 18 августа 1913 года
За одним из столов казино Монте-Карло чёрное выпало 26 раз подряд. Примерно с пятнадцатого чёрного игроки набросились на красное, удваивая и удваивая ставки, и каждый спин казался «вернее» предыдущего. Казино выиграло миллионы франков. Вероятность такой серии, считая с первого чёрного, составляла 1 из 137 миллионов, а вероятность того, что она когда-нибудь случится где-то в казино мира, была практически равна единице. Поэтому ошибку игрока называют также ошибкой Монте-Карло.
Ничего особенного. Случается один раз из 44.
Игроки начинают замечать. Красному «пора выпасть».
За столом тесно. Ставки на красное удваиваются после каждого проигрыша.
Состояния потеряны. Каждое новое чёрное делает красное ещё «вернее».
Серия заканчивается. Казино выиграло миллионы франков у людей, которые ставили против серии, не «знавшей», что она серия.
«Горячая рука»
Ставить на цвет, потому что он идёт серией, — та же ошибка, только наоборот: от серии ждут, что она продолжится, а не закончится. Психологи называют это «горячей рукоймиф«Горячая рука»Убеждение, что серия выигрышей или одного и того же результата делает его повторение более вероятным. За рулеткой это ошибка игрока наоборот.Читать полностью →» — по исследованию Гиловича, Валлоне и Тверски 1985 года, которые искали серии в бросках баскетболистов и не нашли ничего сверх случайности. В 2018 году Миллер и Санхурхо показали, что сам тест был перекошен: в короткой записи доля попаданий сразу после попадания в среднем выходит ниже общей доли попаданий игрока, так что игрок безо всякой «горячей руки» выглядит слегка «остывшим». С поправкой те же данные показывают умеренную «горячую руку». Человек может разыграться; у колеса нет формы, в которую можно войти. Некоторые игроки верят в обе версии сразу: серия продолжается, пока не станет «слишком длинной», а потом заканчивается. На честном колесе у каждой версии такое же математическое ожиданиематематикаМатематическое ожиданиеСредний результат одной ставки на длинной дистанции. Для любой стандартной ставки европейской рулетки: −1/37 от ставки.Читать полностью →, как у выбора цвета подбрасыванием монеты: −2,70% от ставки.
За настоящим столом
Кросон и Сундали (2005) просмотрели 18 часов записей камер наблюдения за одним столом с двумя зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → в крупном казино Рино: 139 игроков и 24 131 ставка. На ставках на равные шансыставкаСтавка на равные шансыКрасное/чёрное, нечёт/чёт, большие/малые. 18 чисел, выплата 1:1.Читать полностью → игроки примерно поровну делились на тех, кто следовал за короткими сериями, и тех, кто ставил против них. После пяти одинаковых результатов подряд они склонялись против серии, а после шести и более 85% их ставок приходилось на противоположный исход. Те же игроки верили в «горячую руку» применительно к себе: после выигрыша на числах они на следующем спине закрывали в среднем 13,6 числа против 9,2 после проигрыша. Признаков смещения их колесо не показало, так что ничто из этого не меняло того, на что мог рассчитывать любой из них.
За пределами казино
Та же тяга проявляется и там, где принимают настоящие решения. Клотфелтер и Кук (1993) изучили ежедневную числовую лотерею штата Мэриленд: сумма ставок на число резко падала, как только оно выпадало, и восстанавливалась месяцами, хотя у тиража нет памяти. Чен, Московиц и Шу (2016) обнаружили то же у профессионалов. Судьи США по делам о предоставлении убежища отказывали до 3,3 процентного пункта чаще, если предыдущее дело решили в пользу заявителя. Бейсбольные судьи на 1,5 пункта реже засчитывали страйк сразу после страйка, а на спорных подачах — более чем вдвое сильнее. В полевом эксперименте с кредитными специалистами, получавшими фиксированную плату, так менялось до 9% решений. Дела поступали в случайном порядке, поэтому последнее решение ничего не говорило о следующем — так же, как последний спин ничего не говорит о следующем.
Обратная ошибка игрока
Философ Иэн Хакинг (1987) описал третью версию. Человек входит в комнату, видит, как на двух костях выпадают две шестёрки, и делает вывод, что их, должно быть, бросали уже много раз. Каждый бросок с равной вероятностью даёт две шестёрки, будь он первым за вечер или тысячным, поэтому увиденное ничего не говорит о том, как долго идёт игра. В рулетке это игрок, который подходит к табло с восемью красными и решает, что колесо, должно быть, крутили часами, чтобы их получить. Обычная ошибка переносит прошлое на следующий спин; эта переносит редкое зрелище на прошлое, которого никто не видел.
Психолог, который в неё верил
У этой ошибки были учёные защитники. Немецкий психолог Карл Марбе изучил четыре реестра рождений по 49 152 записи в каждом, обнаружил, что самая длинная серия мальчиков или девочек подряд составила 17, и заключил, что длинные серии встречаются реже, чем допускает случай, а значит, серия делает другой исход более вероятным. Одна лишь случайность говорит иное: на 196 608 рождений серия из 17 и более встречается примерно в четырёх случаях из пяти. Марбе нашёл ровно то, как выглядит случайная последовательность. Эпстайн (2013) пересказывает этот случай; версия для рулетки — в статье «Вероятность серий».
Где ошибка не применима
Если бы колесо было физически смещено, прошлые спины были бы информативны: они были бы свидетельством о ячейках, а не о везении. Это предмет Лаборатории, и чтобы хоть что-то сказать, нужны тысячи спинов одного определённого колеса. Для серии из десяти красных на неизвестном колесе объяснение смещением гораздо менее вероятно, чем случайность.
Вопросы
Нет. Она относится к любому независимому повторяющемуся событию: кости, монеты, лотерейные числа.
Доли сблизятся. Ваш результат всё равно составит около −2,70% от суммы ваших ставок.
Закона средних не существует. Есть закон больших чисел, и он работает за счёт разбавления.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
После 10 бросков монеты выпало 7 орлов и 3 решки. После 1 000 бросков — 517 орлов и 483 решки. Догнали ли решки?
Показать решение
Ответ Нет. Разрыв вырос с 4 до 34. Ближе к равенству стало только соотношение.
Соотношение орлов и решек упало с 7/3, около 2,33, до 517/483, около 1,07. Это работает закон больших чиселматематикаЗакон больших чиселСреднее независимых результатов сходится к математическому ожиданию по мере роста числа испытаний.Читать полностью →.
Разрыв между ними вырос — с 4 до 34. Для честной монеты разрыв около 30 после 1 000 бросков — обычное дело: типичный разрыв растёт примерно как квадратный корень из числа бросков, а соотношение стремится к 1.
Ничто не тянуло решки назад. Ранний избыток орлов растворился в следующих 990 бросках, а не был исправлен.
Подбросьте монету четыре раза и посмотрите только на броски, которые идут сразу после орла. Какая доля из них — орлы? Посчитайте её для каждой из 16 возможных последовательностей и возьмите среднее этих долей. Получится 50%?
Показать решение
Ответ Нет. Получится 17/42, около 40,5%. Если смотреть так, честная монета словно «остывает» после орла.
Выпишите 16 последовательностей (О — орёл, Р — решка). В двух из них, РРРР и РРРО, среди первых трёх бросков нет орла, так что за орлом ничего не следует; остаётся 14.
В каждой возьмите броски, которые идут за орлом, и найдите, какая доля из них — орлы. ОООО даёт 3 из 3. ОООР даёт 2 из 3. ОРОР даёт 0 из 2. Перебрав все 14, получим: шесть последовательностей дают 0, четыре дают 1/2, одна даёт 2/3 и три дают 1 (ОООО, РООО и РРОО).
Сложите доли: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Разделите на 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Ни один бросок не благоприятствует решке: у каждого 50 на 50. Перекос возникает из-за усреднения по последовательностям: последовательность, полная орлов, даёт много бросков для подсчёта, но учитывается один раз — так же, как последовательность с одним таким броском. Миллер и Санхурхо (2018) показали, что исследование «горячей руки» 1985 года измеряло баскетболистов именно так, поэтому игроки, которые казались не более склонными к сериям, чем велит случай, на самом деле были к ним несколько более склонны.
Минутка юмора
Разбавление, а не поправка. Колесо ничего не должно.
Источники
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”