Миф: системы обыгрывают колесо
«У меня система, которая выигрывает в 80% случаев». Возможно. Деньги она всё равно теряет.
Система может сделать выигрышные сессии частыми. Она не может сделать математическое ожидание положительным, потому что каждая её ставка — это −1/37 от размера ставки, а ожидания складываются. Системы, которые чаще всего выигрывают, больше всего проигрывают, когда проигрывают.
Утверждение
Система изменения ставок по прошлым результатам превращает рулетку в выигрышную игру. Приводимые доказательства: серия выигрышных сессий, видео, отзыв, таблица удачной недели. Утверждение обычно честное; человек в него верит, потому что система у него работала.
Почему это неверно, одной строкой
Математические ожиданияматематикаМатематическое ожиданиеСредний результат одной ставки на длинной дистанции. Для любой стандартной ставки европейской рулетки: −1/37 от ставки.Читать полностью → складываются. Если у каждой ставки EV = −1/37 её размера, то у любой последовательности ставок EV = −1/37 от всей поставленной суммы, каким бы правилом ни выбирались ставки. Система — это правило выбора ставок. Следовательно, у любой системы EV = −1/37 оборотаденьгиОборотОбщая сумма ставок за сессию или за период, включая повторно поставленные выигрыши. Другие названия: handle, action.Читать полностью →. Это теорема (Дуб и Халмош доказали её в 1930-е годы; Торп в 1969 году сформулировал условия), и для хитрых правил в ней нет исключений. Знать стоит одно условие — минимальную ставку. В примере Торпа ставят $1 000 на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →, потом 90 центов, потом 9 центов и так далее, уменьшая ставку бесконечно. С вероятностью 18/37 первая ставка выигрывает, и игрок остаётся в плюсе навсегда, хотя ожидаемый результат по-прежнему −1/37 от всего поставленного. Минимум реального стола это пресекает, а вместе с этим и всякую надежду остаться в плюсе на длинной дистанции.
Почему кажется, что она работает
Отрицательные прогрессиистратегияПрогрессияЛюбое правило, которое меняет ставку в зависимости от предыдущих результатов. Отрицательные прогрессии повышают её после проигрышей, положительные — после выигрышей.Читать полностью → делают выигрышные сессии частыми. МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → от $10 при лимите $500 заканчивает примерно 80% сессий по 100 спинов в плюсе на несколько единицденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →. Игрок, который играет по нему двадцать сессий, выигрывает шестнадцать и запоминает именно это. Каждая из четырёх проигрышных сессий проигрывает больше, чем приносят десять выигрышных, и арифметика по двадцати сессиям отрицательна. Система не изменила среднее; она сдвинула проигрыши в меньшее число более крупных сессий, где их проще списать на невезение.
Проверка, которую может провести любой
Симулятор стратегий на этом сайте прогоняет 10 000 сессий любой системы или вашего собственного кода за секунду. Выставьте систему, в которую вы верите, и прочитайте среднее. Если бы среднее было положительным при каких-либо настройках, эта страница так бы и сказала. Любые настройки, любая система, любой лимит столастолЛимит столаМинимальная и максимальная разрешённая ставка. Именно максимум останавливает прогрессии с удвоением.Читать полностью → дают среднее −2,70% оборота плюс шум. Отзывы — это выборки из одного случая; симулятор — выборки из десяти тысяч.
Система, которая не может проиграть
В 1997 году покерный автор Майк Каро в шутку опубликовал систему для рулетки, а в 2001 году её перепечатал журнал Gambling Times. Это список ставок, которых следует избегать: никогда не ставить на красное или чёрноеставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью →, на нечёт или чёт, на зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →; никаких красных нечётных чисел и чёрных чётных; ничего на 30 и на длинную цепочку ячеекоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → от 11 по часовой стрелке до 14 на американском колесе. Сложите правила вместе — и не останется ни одного числа. Вне этой цепочки только ячейки 0, 28, 9, 26, 30 и 2; 30 запрещено по имени, а остальные — зеро, чётные чёрные или нечётные красные. Игрок, который следует системе, никогда не ставит и никогда не проигрывает. Её преимущество — ноль, и это единственная система для рулетки, честная в том, как она этого добивается.
Именные системы, по одной строке
Системы, которые продают под названием, ничем не отличаются. Каждая — это набор ставок, и каждая ставка платит колесу его 2,70%. Боллман (2024) разбирает несколько из них для американского колеса, где каждая стоит 5,26%; здесь они на европейском.
Честная версия
Системы меняют форму сессии: как часто вы выигрываете, насколько велики выигрыши, насколько плох худший случай. Это реальный выбор, и игрок может предпочитать одну форму другой. Чего системы не меняют, так это цену — 2,70% от всего поставленного, — а поскольку прогрессии ставят больше, чем флэтстратегияФлэтСтавка одной и той же суммы на каждом спине. Точка отсчёта, с которой сравнивают любую прогрессию.Читать полностью →, они платят её больше.
Вопросы
Полгода еженедельных сессий — это около 25 сессий. Мартингейл выигрывает 80% из них. Проигрышные сессии впереди, и они крупнее.
Правило остановки снижает оборот и тем самым снижает ожидаемый проигрышматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью →. Положительным его оно не делает.
На честном колесе — нет. На смещённом колеселабораторияСмещённое колесоКолесо, у которого из-за физических дефектов вероятность некоторых ячеек выше 1/37. Встречается редко, обнаружить можно только по тысячам записанных спинов.Читать полностью → — да, но это задача физики, а не система.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
Шуточная система Mike Caro 1997 года для американского колеса запрещает красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → и чёрноеставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью →, нечёт и чёт, а также зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →; красные нечётные и чёрные чётные числа; число 30; и каждую ячейкуоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → на участке от 11 по часовой стрелке до 14. Примените правила по одному. На какие числа остаётся ставить?
Показать решение
Ответ Ни на какие. Система никогда не ставит, поэтому её преимущество ровно ноль.
Запрет красного, чёрного, нечёта, чёта и зеро оставляет отдельные числа и небольшие группы среди чисел от 1 до 36.
Без красных нечётных и чёрных чётных остаются красные чётные (12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36) и чёрные нечётные (11, 13, 15, 17, 29, 31, 33, 35): шестнадцать чисел. Запрет 30 оставляет пятнадцать.
На американском колесе участок от 11 по часовой стрелке до 14 покрывает 32 из 38 ячеек. Шесть ячеек вне его — 0, 28, 9, 26, 30 и 2. Все пятнадцать оставшихся чисел лежат внутри участка, так что последнее правило убирает и их. Система, которая никогда не ставит, — единственная, которая никогда не проигрывает; в этом и была мысль Caro.
Система «Криптос» ведёт три мартингейластратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → сразу, по одному на каждую пару ставок на равные шансыставкаСтавка на равные шансыКрасное/чёрное, нечёт/чёт, большие/малые. 18 чисел, выплата 1:1.Читать полностью → (большие или малые, нечёт или чёт, красное или чёрное), со ставками 1, 2, 4, 8, 16, 32 и остановкой после шести проигрышей. Возьмите один из трёх на европейском колесе. Как часто он проигрывает все шесть ставок, сколько в среднем приносит один цикл и какую долю от поставленных денег это составляет?
Показать решение
Ответ Он проигрывает все шесть примерно один раз из 55 циклов, в 1,83% случаев, и это стоит 63 единицыденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →. В среднем цикл проигрывает около 0,17 единицы из 6,42 поставленных: 2,70%, цена любой ставки на этом колесе.
Ставка проигрывает с вероятностью 19/37, с учётом зеро. Шесть раз подряд: (19/37)⁶ = 0,0183, примерно 1 из 55, и тогда ставки 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 потеряны. Иначе цикл заканчивается выигрышем и +1 единицей.
В среднем: 1 × (1 − 0,0183) − 63 × 0,0183 = 1 − 64 × 0,0183 = −0,17 единицы.
Поставленные деньги: первая ставка делается всегда, вторая — только после проигрыша, и так далее: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 32 × (19/37)⁵ = 6,42 единицы. И −0,17/6,42 = −2,70%.
Шесть записанных спинов решают только, на какую сторону идёт каждая ставка, а колесо о них знать не может. Все три сразу утраивают поставленные деньги, а с ними и средний проигрыш. Боллман (2024) разбирает систему на колесе с двумя зеро, где каждый из них проигрывает шесть раз подряд в 2,1% случаев.
Минутка юмора
Выигрывать часто и выигрывать деньги — разные числа.
Источники
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Doob, J. L. “Note on probability.”
- Halmos, P. R. “Invariants of certain stochastic transformations: the mathematical theory of gambling systems.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Bollman, M. Basic Gambling Mathematics: The Numbers Behind the Neon, 2nd ed.