Преимущество казино
Доля каждой ставки, которую казино в среднем оставляет себе.
Европейская рулетка: 2,70% на каждой стандартной ставке, потому что выплаты рассчитаны так, будто ячеек 36, а их 37.
Вывод
Истинные шансы для прямой ставкиставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью → составляли бы 36 к 1, потому что на каждый способ выиграть приходится 36 способов проиграть. Казино платит 35 к 1. Недостающая единицаденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →, распределённая на 37 равновероятных исходов, — это 1/37 = 2,70% ставки за спин. Тот же недобор есть в каждой выплатеденьгиВыплатаТо, что приносит выигравшая ставка; указывается в виде «X к 1» сверх возвращённой ставки.Читать полностью →, потому что все выплаты считаются по правилу 36/n − 1: сплитставкаСплитДва соседних числа, выплата 17:1.Читать полностью → платит 17 вместо 17,5, дюжинаставкаДюжина1–12, 13–24 или 25–36, выплата 2:1.Читать полностью → — 2 вместо 2,083, красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → — 1 вместо 1,056. Разрыв всегда равен 1/n единицы за выигрыш, а выигрышей n/37 за спин, поэтому всегда 1/37 за спин.
Преимущество и холд
Преимущество — это ожидаемый проигрышматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью → на единицу ставок: 2,70% за спин. ХолдденьгиХолдДоля денег, принесённых игроками к столу, которая действительно остаётся у казино. Она выше преимущества казино, потому что выигрыши ставятся снова.Читать полностью → — это то, что казино на самом деле оставляет себе из денег, которые вы принесли за стол, и он намного выше, потому что вы снова ставите выигрыш. Покупка фишекстолПокупка фишекОбмен наличных на фишки за столом. Происходит между спинами; деньги кладут на игровое поле, а не дают дилеру в руки.Читать полностью → на $100, которые ставятся по $10 за 200 спинов, даёт оборот $2 000 и около $54 преимущества; холд на эту покупку фишек — 54%. Казино отчитываются по холду, а игроку стоит думать о преимуществе.
Почему у каждой ставки одинаковое преимущество
Это решение при проектировании, а не совпадение. Правило 36/n − 1 закрепилось в XVIII веке, а двойное зероразновидностьДвойное зероЯчейка 00 американского колеса. Из-за неё преимущество казино вырастает с 2,70% до 5,26%.Читать полностью → убрали позже, не тронув выплаты. Будь выплаты честными для 37 ячеекоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью →, прямая ставка платила бы 36 к 1, и у казино не было бы дохода. Одинаковое преимущество удобно: ни одна ставка в рулетке не «невыгоднее» другой, с единственным исключением — американской ставкой на пять чисел с 7,89%.
Чем преимущество не является
Это не вероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → проиграть сессию: исход большинства коротких сессий решает дисперсияматематикаДисперсияМера того, насколько широко результаты разбросаны вокруг математического ожидания. Высокая у прямой ставки, низкая у ставок на равные шансы.Читать полностью →, и около 42% сессий из 100 спинов со ставками на равные шансы заканчиваются в плюсе. Это не плата за сессию: оно растёт вместе с оборотомденьгиОборотОбщая сумма ставок за сессию или за период, включая повторно поставленные выигрыши. Другие названия: handle, action.Читать полностью →, так что прогрессиястратегияПрогрессияЛюбое правило, которое меняет ставку в зависимости от предыдущих результатов. Отрицательные прогрессии повышают её после проигрышей, положительные — после выигрышей.Читать полностью →, которая ставит больше, платит больше. И его нельзя разбавить сочетанием ставок, потому что преимущества одновременных ставок складываются пропорционально их размеру.
В деньгах
На каждые $1 000 ставок ожидаемый проигрыш составляет $27,03 в европейской рулеткеразновидностьЕвропейская рулеткаКолесо с одним зеро, 37 ячеек, преимущество казино 2,70%. Основная модель на этом сайте.Читать полностью →, $52,63 в американской и $13,51 на ставках на равные шансыставкаСтавка на равные шансыКрасное/чёрное, нечёт/чёт, большие/малые. 18 чисел, выплата 1:1.Читать полностью → с la partageправилоLa partageФранцузское правило: если выпадает зеро, половина ставки на равные шансы возвращается. Вдвое снижает преимущество казино по таким ставкам, до 1,35%.Читать полностью →. Постоянный игрок, который ставит $500 за вечер, дважды в неделю, за год делает оборот $52 000 и платит около $1 400 преимущества на европейском колесе. За один спин эта цифра мала, а за год неумолима.
На спин или на разрешённую ставку
Почти каждая ставка в рулетке разыгрывается за один спин, поэтому её преимущество на спин и на ставку — одно и то же число. У ставки, которая может закончиться вничью и остаться на полеоборудованиеИгровое полеНапечатанная на столе сетка для ставок. Другие названия: стол, сукно, полотно.Читать полностью →, их два. Бирюзовая ставка Riverboat Roulette покрывает 3 числа американского колеса, выигрывает 2 к 1, если одно из них выпадет раньше одного из 8 белых чисел, а при всех остальных исходах остаётся в игре. В расчёте на разрешённую ставку она теряет 2/11 ставки, 18,18%. В расчёте на спин — 2/38, 5,26%, потому что в среднем ставка остаётся на поле 38/11 спина, около 3,5. Обе цифры верны. Цифра на спин сравнивает ставку с остальным столом и определяет, сколько стоит час игры; цифра на разрешённую ставку показывает, какая доля каждой ставки вернётся, когда ставка наконец разыграется.
Когда казино ошибается с ценой
Каждое преимущество на этой странице получено арифметикой, в которой казино обычно не ошибаются. Но иногда ошибаются. В октябре 1994 года Grand Casino в Билокси (штат Миссисипи) предложило выплату 80 к 1 на то, что сумма трёх кубиков составит 4, и столько же на 17. Три кубика падают 216 способами, и только 3 из них дают в сумме 4, поэтому ставка возвращала 81 × 3/216 = 1,125 на каждую поставленную единицу: преимущество 12,5% на стороне игрока. Игроки это заметили. Казино за день проиграло около $180 000, закрыло ставку и снова открыло её с выплатой 60 к 1, что превращает те же 3 исхода из 216 в преимущество казино 15,3%. Эту историю со ссылкой на Bollman рассказывает Ханачек (2025). Стандартные выплаты рулетки слишком просты, чтобы так в них ошибиться; арифметику стоит проверять у её необычных побочных ставокставкаПобочная ставкаНеобязательная дополнительная ставка при основной игре, обычно на серию, бонусное событие или джекпот. Почти всегда дороже стандартных ставок.Читать полностью →.
Побочные ставки в других настольных играх
Bollman (2021) ставит основные ставки блэкджека, баккара, крэпса и рулетки рядом с типичными побочными ставками за теми же столами. В первых трёх играх побочная ставка дороже основной, часто во много раз. Исключение — американская рулеткаразновидностьАмериканская рулеткаКолесо с 0 и 00, 38 ячеек, преимущество казино 5,26%. На этом сайте не является моделью по умолчанию.Читать полностью →: её основные ставки стоят 5,26%, и это достаточно много, чтобы побочная ставка вроде Colors или WINGO оказалась дешевле.
Формула
Вопросы
Нет. Это 2,70% от того, что вы ставите. Повторная ставка тех же денег ставит их ещё раз.
Нет. Это доля. Ожидаемый проигрыш в долларах растёт вместе со ставкой.
Все стандартные ставки в европейской рулетке равны. С la partage ставки на равные шансы вдвое дешевле остальных.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
На европейском колесе и прямая ставкаставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью →, и ставка на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → стоят 2,70%, хотя одна покрывает одно число, а другая — восемнадцать. Почему у каждой ставки одинаковое преимущество казиноматематикаПреимущество казиноДоля каждой ставки, которую казино в среднем оставляет себе: 2,70% в европейской рулетке.Читать полностью →?
Показать решение
Ответ Каждая выплатаденьгиВыплатаТо, что приносит выигравшая ставка; указывается в виде «X к 1» сверх возвращённой ставки.Читать полностью → назначена так, будто зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → нет, поэтому каждая ставка теряет одну единицуденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → за 37 спинов, что бы она ни покрывала.
Возьмём ставку на n чисел. Она платит (36 − n)/n к 1. За 37 спинов она в среднем выигрывает n раз и проигрывает 37 − n раз.
Выигрыши приносят n × (36 − n)/n = 36 − n единиц. Проигрыши стоят 37 − n единиц. Разница — −1 единица за каждые 37 спинов, и n сократилось: результат одинаков для прямой ставки, кареставкаКареЧетыре числа с общим углом на игровом поле, выплата 8:1.Читать полностью → или дюжиныставкаДюжина1–12, 13–24 или 25–36, выплата 2:1.Читать полностью →. Одна единица из 37 — это 2,70%.
На колесе с N ячейкамиоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью → та же сумма даёт (36 − N)/N, то есть −2/38 = 5,26% на американском колесе. Единственная ставка, которая выбивается из этой закономерности, — американская ставка на пять чисел: по правилу она должна платить 6,2 к 1, платит 6 и стоит 7,89%.
Кено — игра в духе лотереи — оставляет себе 25% поставленного или больше. Если бы казино добавляло на колесо рулетки зеро, не меняя выплат, сколько зеро понадобилось бы, чтобы рулетка стала такой же дорогой, как кено?
Показать решение
Ответ Двенадцать зеро: колесо из 48 ячеек.
С z зеро на колесе 36 + z ячеек, а выплаты по-прежнему рассчитаны на 36. По правилу из предыдущей задачи каждая ставка теряет z единиц за 36 + z спинов, так что преимущество казино равно z/(36 + z).
Приравняем это к четверти: 4z = 36 + z, откуда z = 12. Двенадцать зеро на колесе из 48 ячеек стоили бы 25%.
На колесе с тремя зеро на Лас-Вегас-Стрип — самой дорогой рулетке, которая встретится большинству игроков, — зеро вчетверо меньше.
зероячейкипреимущество казино1372,70%2385,26%3397,69%44010,00%124825,00%Лотерея штата Массачусетс в 2023 году запустила колесо с 36 числами и без зеро. Одно число платит 25 за 1, а красное, чёрноеставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью →, нечёт или чёт — 3 за 2. Раз зеро нет, дешевле ли это рулетки?
Показать решение
Ответ Нет, гораздо дороже: 30,56% на числе и 25% на красном или чёрном против 2,70% на европейском колесе.
«За» включает ставку. Ставка $1 на число возвращает $25 в среднем раз за 36 розыгрышей: $25 обратно за $36 поставленных, проигрыш $11 из 36, 30,56%.
Ставка $2 на красное возвращает $3 в половине случаев: $3 обратно на каждые $4 поставленных, проигрыш 25%.
Зеро — лишь один из способов назначить цену. Рулетка платит так, будто ячеек 36, и добавляет 37-ю; это колесо имеет 36 ячеек и просто платит меньше. Боллман (2024) даёт это как упражнение.
Казино хочет ввести новую ставку на одиннадцать простых чиселматематикаПростое числоЦелое число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее.Читать полностью → от 1 до 36: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 и 31. Сколько она должна платить, чтобы стоить те же 2,70%, что и любая другая ставка на европейском колесе? Сколько она стоила бы при выплате 2 к 1?
Показать решение
Ответ 25 к 11, примерно 2,27 к 1. При 2 к 1 она стоила бы 10,81%.
Воспользуйтесь правилом из первой задачи: ставка на n чисел платит (36 − n)/n к 1. При n = 11 это 25/11 к 1, неудобная выплата: фишкаденьгиФишкаЖетон, который обозначает определённую сумму; чтобы сделать ставку, его кладут на игровое поле. Другое название: чек (check).Читать полностью → в $10 выигрывала бы $22,73.
При 2 к 1 ставка в $1 выигрывает $2 в 11 спинах из 37 и проигрывает $1 в остальных 26: 22 − 26 = −4 единицы на каждые 37 спинов, 10,81%.
Вот почему рулетка продаёт ставки на 1, 2, 3, 4, 6, 12 и 18 чисел: 36 делится на каждое из этих чисел, и честная выплата получается целой. Тейлор (2021) даёт это упражнение с десятью простыми числами; на самом деле их одиннадцать.
Минутка юмора
1/37 каждой ставки, на каждой ставке, в каждом спине.
Источники
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.