Критерий Келли и рулетка

Критерий

Джон Келли (1956) задал вопрос: как игроку с известным преимуществом подбирать размер ставок, чтобы максимизировать рост банкролладеньгиБанкроллВся сумма, отложенная на игру. Управление банкроллом — это решение о том, какой его частью рисковать в одной ставке и в одной сессии.Читать полностью → на длинной дистанции. Ответ для ставки с выплатой b к 1, вероятностьюматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → выигрыша p и вероятностью проигрыша q = 1 − p таков: ставить долю f* = (bp − q) / b от банкролла. Положительное f* означает, что надо ставить эту долю; ноль или отрицательное значение — не ставить. Келли работал в Bell Labs, и его статья «A new interpretation of information rate» поместила задачу в теорию информации Клода Шеннона: игрок, который получает подсказки по линии с помехами и играет при выплатах, равных истинным шансам, может увеличивать банкролл в лучшем случае с той скоростью, с какой линия передаёт информацию. В 1961 году Лео Брейман доказал, что ставки по Келли на длинной дистанции обходят любую существенно иную стратегию и достигают заданной цели примерно за кратчайшее время.

Применение к рулетке

Для красногоставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Для прямой ставкиставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Любая стандартная ставка даёт отрицательную долю Келли, потому что у любой ставки отрицательное преимущество, а оптимальная для роста ставка — ноль. Келли — формальный способ сказать то же, что говорит страница о преимуществе казино: нет такого размера, при котором ставка с отрицательным ожиданием увеличивает банкролл.

Где Келли применялся

У игроков на смещении было преимущество и проблема с размером ставок. Джаггеру, Гарсия-Пелайо и Эвдемонам приходилось решать, сколько ставить при измеренном преимуществе, а слишком малые ставки упускают преимущество, тогда как слишком большие грозят разорением до того, как преимущество проявится. Для ячейкиоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью →, которая выпадает 1 раз из 30, Келли даёт 0,57% банкролла за спин на это число: при $10 000 это около $57 за спин при типичном росте около 0,054% за спин, или ×1,7 за 1 000 спинов. Средний прирост вдвое больше — 0,11% за спин, но критерий Келли нацелен на типичный банкролл, а не на средний, который раздувают несколько удачных серий. Половина Келли — обычный практический выбор, потому что оценка преимущества неточна.

Знаменитые игроки в рулеткуЭвдемоны

Типичное и среднее

Разрыв между типичным банкроллом и средним велик. Возьмём ячейку, которая выпадает 1 раз из 25: это преимущество 44%, именно такую цифру Торп приводит для своего устройства. Келли ставит на неё 1,26% банкролла. Через 1 000 спинов типичный банкролл вырастает примерно в 11,5 раза, а средний, который тянут вверх несколько очень удачных серий, — примерно в 249 раз. Ставки крупнее, чем по Келли, повышают средний результат и снижают типичный: при двойной ставке Келли типичный банкролл лишь удваивается, а при двух с половиной ставках Келли он уже уменьшается, хотя каждая ставка по-прежнему несёт преимущество 44%. Ставки меньше обходятся недорого: половина ставки сохраняет около трёх четвертей роста.

Когда преимущество — лишь догадка

Келли исходит из того, что преимущество известно. За столом его оценивают, и оценка обычно завышена. Пример Эпстайна, построенный на 44% Торпа: число, выпавшее 49 раз за 1 225 спинов на колесе с двумя зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →, — это 1 раз из 25, преимущество 44% и ставка по Келли 1,26%. Но на честном колесе с двумя зеро 38 чисел, и самое частое из них набирает 49 и более выпадений за 1 225 спинов примерно в одном случае из девяти. К тому же самое частое число в любой записи — то, которому больше всех помогло везение, так что даже действительно смещённая ячейка выглядит в записи лучше, чем она есть: это проклятие победителя. Если же ячейка на самом деле не смещена, ставка по Келли — просто ставка, которая в среднем теряет 5,26%. Обычные ответы — ставить долю от ставки Келли и продолжать подсчёт, пока преимущество не подтвердится на новой записи (см. «Как обнаружить смещение колеса»).

Люди с преимуществом

Знать преимущество — не то же самое, что хорошо им распорядиться. Хагани и Дьюи (2016) дали 61 человеку по $25 и предложили полчаса ставить на монету, которая, как им сказали, выпадает орлом в 60% случаев; выигрыш был ограничен суммой $250 (об этом потолке игроки узнавали, только дойдя до него). По Келли нужно каждый раз ставить на орла 20% банкролла, и, по оценке авторов, постоянные ставки в 10–20% доходили бы до потолка примерно в 95% случаев. Дошёл до него лишь 21% игроков. 28% разорились, 18 из 61 поставили всё на один бросок, примерно треть закончила с суммой меньше исходных $25, а средняя выплатаденьгиВыплатаТо, что приносит выигравшая ставка; указывается в виде «X к 1» сверх возвращённой ставки.Читать полностью → составила $91. Лишь пятеро из 61 слышали о критерии Келли. Когда преимущество есть, размер ставок решает, сохраните ли вы его; когда его нет, как за честным колесом, никакой размер не поможет.

Что использовать вместо этого

Без преимущества размер ставки — вопрос бюджета, а не роста: ставка равна той сумме, которую вы готовы потратить за спин, и выводится из часового бюджета и темпа стола (страница об управлении банкроллом). Вклад Келли для обычного игрока — ясность ответа: ноль. Всё, что вы ставите сверх нуля, — это цена игры, выбранная вами, а не оптимизированная какой-либо формулой.

Замечание о дробном Келли и «управлении деньгами»

Системы, которые продают как «Келли для рулетки» и которые советуют ставить фиксированный процент банкролла, — это флэтстратегияФлэтСтавка одной и той же суммы на каждом спине. Точка отсчёта, с которой сравнивают любую прогрессию.Читать полностью → с уменьшающейся ставкой. Они проигрывают 2,70% оборотаденьгиОборотОбщая сумма ставок за сессию или за период, включая повторно поставленные выигрыши. Другие названия: handle, action.Читать полностью →, а поскольку ставка уменьшается по мере проигрышей, разорение они делают медленным, а не маловероятным. Это разумный способ растянуть бюджет, но это не Келли: по Келли надо было бы остановиться.

Флэт

Формула

Вопросы