Необычные колёса
Колёса на 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 или 105 ячеек. Цену почти всех определяет одно правило: доля ячеек, которые выплаты не учитывают.
Когда выплаты установлены так, будто ячеек казино нет, преимущество казиноматематикаПреимущество казиноДоля каждой ставки, которую казино в среднем оставляет себе: 2,70% в европейской рулетке.Читать полностью → равно числу ячеек казино, делённому на общее число ячеек, каким бы ни был размер колеса. Большинство необычных колёс следует этому правилу. Интересны те, что его нарушают: округлённая выплата, бонусный раунд или ставка, которая остаётся на поле несколько спинов.
Одно правило для любого колеса
Европейская рулеткаразновидностьЕвропейская рулеткаКолесо с одним зеро, 37 ячеек, преимущество казино 2,70%. Основная модель на этом сайте.Читать полностью → платит 35 к 1 так, будто на колесе 36 ячеекоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью →. Их 37, и недостающая ячейка — это преимущество 2,70%. То же правило работает на любом колесе: при N числах и Z ячейках казино ставка на n чисел с выплатой (N − n)/n к 1 имеет преимущество Z/(N + Z). По этому правилу строили или предлагали колёса любого размера, и таблица выстраивает их по цене.
Больше может быть дешевле
Колесо на 62 ячейки игроки воспринимают как ставку на менее вероятное и считают игру хуже. Но преимущество казино зависит только от доли ячеек казино. На Super 62 два зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →, как на американском колесе, но это 2 из 62 ячеек, а не 2 из 38, поэтому оно стоит 3,23% против 5,26%. Roulette 73 с 72 числами и одним зеро стоила бы 1,37% — примерно как ставки на равные шансы во французской рулетке. На маленьком колесе правило работает в обратную сторону. Bollman описывает старинное колесо на 18 ячеек: от 1 до 16 плюс 0 и 00. По правилу каждая ставка стоила бы 2/18, 11,11%: две ячейки казино — большая доля маленького колеса.
Где правило нарушается: округление
ВыплатаденьгиВыплатаТо, что приносит выигравшая ставка; указывается в виде «X к 1» сверх возвращённой ставки.Читать полностью → должна быть разумной суммой в фишкахденьгиФишкаЖетон, который обозначает определённую сумму; чтобы сделать ставку, его кладут на игровое поле. Другое название: чек (check).Читать полностью →, и когда правило даёт дробь, казино округляет вниз. Ставка Avenue в 100 To 1 Roulette покрывает 15 ячеек и должна платить 5⅔ к 1; она платит 11 к 2, что поднимает её преимущество с 4,76% до 7,14%. На Super 62 семь чисел содержат цифру 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60), а ставка на эту цифру платит 7 к 1, что даёт 9,68% — втрое больше, чем остальное игровое полеоборудованиеИгровое полеНапечатанная на столе сетка для ставок. Другие названия: стол, сукно, полотно.Читать полностью →. Ставка White в Riverboat Roulette покрывает 8 чисел с выплатой 7 к 2; за столом без фишек по 50 центов выигравшие $5 получают $17, а не $17,50, что поднимает преимущество с 5,26% до 7,37%. Американская ставка на пять чисел с её 7,89% — знакомый случай того же самого.
Где правило нарушается: бонусы
Fast Action Roulette, запущенная в Marina Bay Sands в 2020 году, использует настоящее колесо с четырьмя зеро, которое само по себе стоило бы 10%. На каждом спине случайным образом загораются десять бонусных чисел. Прямая ставкаставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью → платит 35 к 1, 40 к 1, если её число бонусное, и 80 к 1, если бонусный весь её ряд из четырёх чисел, что снижает её цену до 6,65%. Три другие ставки игры стоят гораздо дороже. Double Bonus Spin от IGT добавляет к американскому колесу жёлтую бонусную ячейку шириной в полторы ячейки; когда шарикоборудованиеШарикМаленький шарик, который запускают по дорожке против вращения ротора. Современные шарики делают из айворина или тефлона, диаметр 18–21 мм.Читать полностью → попадает туда, каждая ставка получает два бесплатных спина. По нашему расчёту это снижает преимущество казино до значений от 1,94% (прямая ставка) до 2,73% (равные шансы) — ниже, чем на обычном американском колесе. Bollman (2021) приводит для этой игры от 3% до 16%; в его упрощённой формуле алгебраическая ошибка, и для ставок на равные шансыставкаСтавка на равные шансыКрасное/чёрное, нечёт/чёт, большие/малые. 18 чисел, выплата 1:1.Читать полностью → из неё следует, что бесплатные спины проигрывают больше ставки, чего быть не может.
Где правило нарушается: ставки, которые остаются на поле
Riverboat Roulette (2012) дала 32 числам американского колеса второй цвет. Белым отмечены по четыре ячейки вокруг каждого зеро (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Ставка на цветовую группу выигрывает, если одно из её чисел выпадет раньше одного из восьми белых чисел. Белое число — это «White Out»: все ставки на цвета проигрывают. Любое другое число означает возврат: ставка остаётся на поле, и между спинами её можно снять или увеличить. Бирюзовая группа покрывает три числа и платит 2 к 1. В расчёте на разрешённую ставку она теряет 2/11 ставки, 18,18%. В расчёте на спин — 2/38, знакомые 5,26%, потому что в среднем ставка остаётся на поле 38/11, около 3,5 спина.
Колесо, которое Торп умел предсказывать: Big Six
Big Six, или колесо фортуны, — большое вертикальное колесо с 54 секциями: 24 платят 1 к 1, 15 — 2 к 1, семь — 5 к 1, четыре — 10 к 1, две — 20 к 1, и две секции с логотипом платят 40 к 1. Зеро здесь нет; казино берёт свою долю, недоплачивая, и преимущество казино составляет от 11,1% на секциях, которые платят 1 к 1, до 24,1% на логотипах. В 1961 году Торп построил для него предсказатель размером со спичечный коробок, который включался переключателем под пальцем ноги. А в 1981 году, засекая наручными часами один оборот колеса в казино, он обнаружил, что обычно может назвать точку остановки с точностью до пяти секций. Ставки только на высокооплачиваемые секции рядом с предсказанием дали бы около +211%, если бы ставки принимали после запуска колеса. Их не принимают, а колесо вращается медленно и у всех на виду, так что поздняя ставка бросилась бы в глаза; Торп писал, что за этим столом слишком мало игры, чтобы её спрятать.
Почему приживаются немногие
Профессиональное колесо стоит тысячи долларов, а колесо с необычным числом ячеек приходится делать на заказ. Поэтому большинство новых игр в рулетку сохраняют стандартное колесо и добавляют ставки — вот почему страница о побочных ставках длиннее этой. Колесо с орлом на 31 ячейку в Америке XIX века, с 12,90% на одном числе и 9,68% на всём остальном, погубила собственная цена. Идея третьей ячейки казино вернулась в 2016 году на колесе на 39 ячеек, где она стоит 7,69%.
Вопросы
Само по себе нет. Преимущество казино — это доля ячеек казино: 1 из 73 дешевле, чем 1 из 37.
Roulette 73 с 1,37%, но это опубликованный проект, а не стол, который вы, скорее всего, найдёте. Среди колёс, которые действительно предлагались игрокам, следующим после европейского и французского идёт Super 62 с 3,23%.
За бонус нужно платить — обычно урезанием базовой выплаты или отдельной ставкой с высоким преимуществом.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
У Royal Roulette, разработанной в Австралии, 50 ячеекоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью →: 48 карт от 2 до короля, плюс один туз и один джокер. Одна карта платит 47 к 1, две — 23 к 1, три — 15 к 1, четыре — 11 к 1, шесть — 7 к 1, восемь — 5 к 1, двенадцать — 3 к 1, шестнадцать — 2 к 1 и двадцать четыре — 1 к 1. По какому правилу заданы эти выплатыденьгиВыплатаТо, что приносит выигравшая ставка; указывается в виде «X к 1» сверх возвращённой ставки.Читать полностью → и сколько стоит каждая ставка?
Показать решение
Ответ Каждая ставка на n карт платит (48 − n)/n к 1, поэтому каждая стоит 2/50 = 4%.
Проверьте правило на нескольких ставках: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Оно подходит ко всем девяти. Правило оценивает колесо так, будто на нём 48 ячеек, так что туз и джокер — две ячейки казино, ровно как 0 и 00 на американском колесе.
Две ячейки казино из 50 дают преимущество 4%. «Европейская» версия убирает джокера и сохраняет выплаты: одна ячейка казино из 49, преимущество 2,04%.
В Super 62 есть ставка на то, что выбранная цифра встретится в выигрышном числе. Придумайте такую же ставку для обычного американского колеса. Во скольких числах от 1 до 36 встречается каждая цифра и какие выплаты сохранят обычные 5,26%?
Показать решение
Ответ Ровные выплаты получаются только для цифр, которые встречаются в 3 или 4 числах (11 к 1 и 8 к 1). Цифры 1, 2 и 3 честно оплатить целыми фишкамиденьгиФишкаЖетон, который обозначает определённую сумму; чтобы сделать ставку, его кладут на игровое поле. Другое название: чек (check).Читать полностью → нельзя.
Посчитайте числа. Цифра 1 встречается в 1, с 10 по 19, в 21 и 31: 13 чисел. Цифра 2 — тоже в 13 числах, цифра 3 — в 10. Цифры 4, 5 и 6 встречаются в четырёх числах каждая (4, 14, 24, 34), а 7, 8 и 9 — в трёх.
Ставка на n чисел сохраняет американское преимущество, если платит (36 − n)/n к 1. Это даёт 8 к 1 для четырёх чисел и 11 к 1 для трёх — обе выплаты целые. Для 13 чисел получается 23/13, около 1,77 к 1, а для 10 чисел — 2,6 к 1. Округлите 1,77 вниз до 7 к 4, и ставка стоит 5,92%; округлите вверх до 2 к 1, и у игрока преимущество 2,63%. Округление 2,6 вниз до 5 к 2 даёт 7,89%.
С цифрой 0 есть выбор: только 10, 20 и 30 платят 11 к 1 при 5,26%; добавьте 0 и 00 — и это ставка на пять чисел, 6 к 1 при 7,89%, как первые пятьставкаПервые четыреНа колесе с одним зеро: 0, 1, 2, 3 одной фишкой, выплата 8:1. Другие названия: basket, first four, quatre premiers.Читать полностью →.
цифрачислапо правилуможно платитьпреимущество казино1, 2131,77 к 17 к 45,92%3102,6 к 15 к 27,89%4, 5, 648 к 18 к 15,26%7, 8, 9311 к 111 к 15,26%100 To 1 Roulette платит по большинству ставок (100 − n)/n к 1 на колесе из 100 чисел и 5 символов казино. Её ставки покрывают 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 или 50 ячеек и платят 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 к 2, 4 и 1 к 1. Прямая ставкаставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью → и ставка Avenue на 15 ячеек нарушают правило. Какая ещё ставка его нарушает и сколько она стоит?
Показать решение
Ответ Ставка на три ячейки: по правилу она должна платить 32⅓ к 1, платит 32 к 1 и стоит 5,71% вместо 4,76%.
Сверьте каждую выплату с правилом: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 и 50/50 = 1 — все подходят. Для трёх ячеек правило даёт 97/3 = 32⅓, а такую сумму фишками не выплатить, поэтому её округляют вниз до 32.
Ставка выигрывает 3 раза из 105 спинов и возвращает тогда 33 единицыденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → вместе со ставкой: 3 × 33 = 99 единиц на каждые 105 поставленных, проигрыш 6/105 = 5,71%.
У Roulette 73, опубликованного проекта колеса, 72 числа и одно зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →, и каждая ставка платит (72 − n)/n к 1. Её 24 серых числа можно покрыть 14 фишками: 4 прямые ставки и 10 сплитовставкаСплитДва соседних числа, выплата 17:1.Читать полностью →. Сколько стоит эта ставка из 14 фишек?
Показать решение
Ответ 1,37% от 14 фишек — как и любая другая ставка на этом колесе.
Длинный путь: прямая ставка платит 71 к 1, сплит — 35 к 1. Если выпадает одно из 4 чисел с прямыми ставками, вы выигрываете 71 и теряете остальные 13 фишек: +58. Если одно из 20 чисел в сплитах: +35 − 13 = +22. На остальных 49 ячейках вы теряете все 14. В среднем за 73 спина: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 единиц, то есть 1/73 каждой фишки.
Короткий путь: математические ожиданияматематикаМатематическое ожиданиеСредний результат одной ставки на длинной дистанции. Для любой стандартной ставки европейской рулетки: −1/37 от ставки.Читать полностью → складываются. Каждая фишка — обычная ставка, теряющая 1/73 своей величины, так что 14 фишек теряют 14/73. Объединение ставок меняет разброс результатов, но никогда не меняет их цену.
На колесе Super 62 — 60 чисел, 0 и 00, и оно платит (60 − n)/n к 1. Его разработчики нарисовали также варианты с одной, тремя и четырьмя ячейками казино. Alphabetic Roulette платит (24 − n)/n к 1 на 25 ячейках, и у неё есть вариант, где Y и Z стоят в отдельных ячейках. Оцените все пять.
Показать решение
Ответ С одним, двумя, тремя и четырьмя зеро: 1,64%, 3,23%, 4,76% и 6,25%. Alphabetic с отдельными Y и Z: 7,69%.
Каждый из этих вариантов сохраняет выплаты и меняет только число ячеек казино, поэтому преимущество — это ячейки казино ÷ все ячейки.
Одно зеро, 61 ячейка: 1/61 = 1,64%. Два, 62 ячейки: 2/62 = 3,23%. Три, 63 ячейки: 3/63 = 4,76%. Четыре, 64 ячейки: 4/64 = 6,25%. Каждое добавленное зеро стоит примерно полтора пункта.
Alphabetic платит так, будто в ней 24 буквы. Когда Y и Z делят одну ячейку, у казино 1 из 25, 4%. Когда Y и Z стоят отдельно — 2 из 26, 7,69%, столько же, сколько у колеса с тремя зеро. Разделение одной ячейки на две почти удвоило цену.
колесоячеекячеек казинопреимущество казино60 чисел, одно зеро6111,64%Super 626223,23%60 чисел, три зеро6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y и Z отдельно2627,69%У старинного колеса 18 ячеек: от 1 до 16, 0 и 00. Нечётные числа и 0 — красныеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →, чётные числа и 00 — чёрныеставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью →, а 16 чисел расположены на игровом полеоборудованиеИгровое полеНапечатанная на столе сетка для ставок. Другие названия: стол, сукно, полотно.Читать полностью → 4 на 4. Составьте таблицу выплатденьгиТаблица выплатСписок того, сколько платит каждая ставка или каждый результат. У автоматов и побочных ставок именно в ней задаётся преимущество казино.Читать полностью →, которая даёт каждой ставке одинаковое преимущество. И почему 0 должно проигрывать ставку на красное, хотя оно красное?
Показать решение
Ответ Платить (16 − n)/n к 1: 15 к 1 за одно число, 7 за два, 3 за четыре, 1 за восемь. Каждая ставка стоит 11,11%. Если бы 0 выигрывало ставку на красное, красное было бы честной ставкой.
Оцените колесо так, будто 0 и 00 на нём нет. Ставка на n чисел выигрывает n раз из 18 и платит (16 − n)/n к 1, поэтому возвращает 16 единиц, включая ставку, на каждые 18 поставленных. Каждая ставка стоит 2/18, 11,11%.
Естественные ставки поля получаются целыми: одно число — 15 к 1, два соседних — 7 к 1, ряд или колоннаставкаКолоннаДвенадцать чисел одной вертикальной колонны игрового поля, выплата 2:1.Читать полностью → из четырёх — 3 к 1, а два ряда или восемь нечётных, чётных, малых или больших чисел — 1 к 1. Ставке на три числа понадобилось бы 4⅓ к 1; с выплатой, округлённой вниз до 4 к 1, она стоит 16,67%.
Красное покрывает восемь нечётных чисел. Если бы 0, будучи красным, тоже выигрывало ставку на красное, красное покрывало бы 9 из 18 ячеек при выплате 1 к 1: честная играматематикаЧестная играИгра, в которой ни у одной стороны нет преимущества: математическое ожидание каждой ставки равно нулю.Читать полностью → без всякого преимущества. Ячейки казино зарабатывают своё преимущество только тем, что проигрывают любую ставку, кроме ставки на них самих.
Минутка юмора
Посчитайте ячейки казино, потом ищите округление.
Источники
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”