Задача: колесо и дни рождения
Сколько спинов нужно, чтобы какое-то число повторилось? Гораздо меньше, чем думает большинство.
Задача о днях рождения на колесе с 37 ячейкамиоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью →: уже после 8 спинов вероятность того, что какое-то число выпало дважды, больше половины. Игроки принимают повторы за закономерность, хотя это ожидаемое поведение честного колеса.
Задача
Крутите честное европейское колесо. Сколько нужно спинов, чтобы вероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → того, что хотя бы в двух спинах выпало одно и то же число, превысила одну вторую? Большинство игроков называют где-то 18 или 19, половину от 37. Правильный ответ — 8.
Решение
Найдите вероятность отсутствия повторов и вычтите её из единицы. После k спинов p(все разные) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Для k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, так что p(есть повтор) ≈ 0,56. Для k = 14 это 0,93; для k = 20 — 0,996. Интуиция подводит, потому что число пар спинов растёт как k², а совпасть может любая пара.
Почему это важно за столом
Табло результатов с последними 20 числами почти всегда показывает хотя бы один повтор, часто два или три. Игроки видят «17 выпало дважды за десять спинов» и делают вывод, что 17 горячее; арифметика дней рождения говорит, что повтор в пределах десяти спинов случается в 74% случаев, а повторившееся число случайно. Закономерность настоящая, смысла в ней нет.
Продолжение
Сколько спинов нужно, чтобы конкретное число, скажем 17, выпало дважды? Это другой вопрос с гораздо большим ответом: ожидаемое ожидание — 74 спина, а вероятность двух 17 в пределах 20 спинов — около 10%. Разница между «какое-то число повторяется» (8 спинов) и «повторяется именно это число» (74 спина) — это вся разница между закономерностью, которую замечаешь задним числом, и предсказанием, которое делаешь заранее.
Попробуйте
Сыграйте десять спинов в демо-игре и посмотрите на историю. Обычно там есть повтор. Сыграйте ещё раз. Повторившееся число будет другим. Повторите десять раз — и вы увидели задачу о днях рожденияматематикаЗадача о днях рожденияСколько нужно людей, чтобы у двоих из них, скорее всего, совпал день рождения, или сколько спинов, чтобы какое-то число, скорее всего, повторилось. На колесе из 37 ячеек вероятность больше половины дают уже 8 спинов.Читать полностью →; повторите тысячу раз (симуляторы это умеют) — и вы её измерили.
Формула
Вопросы
Именно он, только с 37 ячейками вместо 365 дней. 23 человека дают 50% для дней рождения; 8 спинов дают 56% для колеса.
50% после примерно 19 спинов. Это тоже обычное дело.
Нет. Это могли бы показать тысячи спинов одного колеса; повтор — никогда.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
Табло результатов у американского колеса показывает последние 16 спинов. Насколько вероятно, что ни одно число на нём не встречается дважды?
Показать решение
Ответ Около 2,5%: примерно 39 табло из 40 показывают хотя бы один повтор.
Идите спин за спином. Первый спин может быть любым. Второй должен с ним не совпасть: 37 шансов из 38. Третий — не совпасть с обоими: 36 из 38. Шестнадцатый должен не совпасть с пятнадцатью числами: 23 из 38.
Перемножьте: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Редкость — как раз табло без повторов. Табло с повтором ничего не говорит о колесе.
Какова вероятность, что за десять спинов на европейском колесе 17 выпадет ровно пять раз? Что какое-нибудь число, любое, выпадет пять раз или больше? И что какое-нибудь число выпадет хотя бы три раза за четыре спина?
Показать решение
Ответ 17 ровно пять раз: 1 из 315 576. Какое-нибудь число пять раз или больше: примерно 1 из 8 333. Какое-нибудь число три раза или больше за четыре спина: 1 из 349.
17 пять раз: выберите, какие пять спинов из десяти, — 252 способа, каждый с вероятностью (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Вместе 1 из 315 576.
Какое-нибудь число: у каждого из 37 чисел вероятность пяти и более попаданий 1 из 308 325, что даёт 37 из 308 325, или 1 из 8 333. Редкий случай двух чисел по пять попаданий посчитан дважды, но если его убрать, при такой точности ничего не изменится.
Три раза за четыре спина: для одного числа 4 × 36 + 1 = 145 из 37⁴ возможных исходов; для любого из 37 чисел 145/37³ = 1 из 349.
Wizard of Odds ответил на варианты этих вопросов для колеса с двумя зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью →; наши цифры для такого колеса — 1 из 359 275, 1 из 9 243 и 1 из 368. Разница между «17» и «каким-нибудь числом» — это снова задача о днях рожденияматематикаЗадача о днях рожденияСколько нужно людей, чтобы у двоих из них, скорее всего, совпал день рождения, или сколько спинов, чтобы какое-то число, скорее всего, повторилось. На колесе из 37 ячеек вероятность больше половины дают уже 8 спинов.Читать полностью →: удивиться можно 37 способами.
Минутка юмора
Что-то повторяется рано. И это что-то случайно.
Источники
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.