Сходимость на длинной дистанции
Как среднее приближается к −2,70% и почему это занимает больше времени, чем подсказывает интуиция.
Средний проигрыш за спин сходится к −1/37 по мере накопления спинов, а разброс сужается как 1/√N. После 1 000 спинов на красное среднее обычно отличается от математического ожидания не больше чем на ±3%.
Закон больших чисел
Скользящее среднее независимых ставок стремится к математическому ожиданиюматематикаМатематическое ожиданиеСредний результат одной ставки на длинной дистанции. Для любой стандартной ставки европейской рулетки: −1/37 от ставки.Читать полностью →. После N спинов на равные шансы по одной единицеденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → средний результат за спин имеет ожидание −1/37 и стандартное отклонениематематикаСтандартное отклонениеКвадратный корень из дисперсии; типичное расстояние результата от математического ожидания.Читать полностью → 1/√N. При N = 100 этот разброс равен 10% ставки, почти вчетверо больше сигнала в 2,7%. При N = 1 000 он равен 3,2%, примерно как сигнал. При N = 10 000 он равен 1%, и преимущество казино отчётливо видно. В одной сессии оно невидимо, а за год неоспоримо.
Что сходится, а что нет
Среднее за спин сходится. Сумма не сходится: она уходит от нуля всё дальше по мере роста N, в среднем примерно на 2,7% от N, с разбросом порядка √N вокруг этого значения. Игрок, который сыграл 10 000 спинов по $10, в ожидании проигрывает $2 700, плюс-минус $1 000. Доля красныхставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → давно установилась около 48,65%, а текущий баланс не установился нигде.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медиана −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Почему интуиция подводит
Люди ждут, что преимущество проявится быстро, потому что 2,70% звучит много, и ждут, что длинные серии «выровняются», потому что закон больших чиселматематикаЗакон больших чиселСреднее независимых результатов сходится к математическому ожиданию по мере роста числа испытаний.Читать полностью → говорит, что средние сходятся. Обе интуиции неверно оценивают масштаб: преимущество мало по сравнению с дисперсиейматематикаДисперсияМера того, насколько широко результаты разбросаны вокруг математического ожидания. Высокая у прямой ставки, низкая у ставок на равные шансы.Читать полностью → одного спина (σ = 1 единица при EV = 0,027), поэтому, чтобы оно стало заметным на уровне одной сигмы, нужно (1/0,027)² ≈ 1 400 спинов. А сходимость среднего ничего не делает, чтобы вернуть сумму: она лишь разбавляет прошлые колебания.
Сходимость для других ставок
Для прямых ставокставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью → σ = 5,84, поэтому тот же расчёт даёт (5,84/0,027)² ≈ 47 000 спинов, чтобы преимущество достигло одной сигмы. Игрок на прямые ставки может играть годами, и в его собственных записях преимущество казино не отличить от везения, хотя он платит ровно те же 2,70%, что и игрок на красное, который видит их за несколько недель.
Что это значит для проверки систем
Тот, кто утверждает, что система работает, должен уметь показать это на 10 000 спинов или больше с документированным положительным средним. На 1 000 спинов положительное среднее на равных шансах — событие вероятности один к пяти при нулевой гипотезе; на 100 спинов это почти подбрасывание монеты. Симуляторы на этом сайте за секунду прогоняют 2 000 сессий выбранной вами длины, а это больше доказательств, чем любой отзыв.
Формула
Вопросы
ВероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → когда-либо снова оказаться в плюсе падает к нулю по мере игры. Сумма безгранично сползает вниз.
Нет. Это значит, что прошлые колебания становятся меньшей долей более крупной выборки.
Для равных шансов около 10 000, пока преимущество не станет отчётливо видно. Для прямых ставок около 50 000.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
Двое друзей играют 20 раундов честной игрыматематикаЧестная играИгра, в которой ни у одной стороны нет преимущества: математическое ожидание каждой ставки равно нулю.Читать полностью → — бросают монету или ставят красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → против чёрногоставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью → с возвратом при зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → — и ведут текущий счёт. Посчитайте раунды, в которые каждый из них впереди (ничья засчитывается тому, кто лидировал перед ней). Что вероятнее: что лидерство поделится 10 раундов на 10 или что один друг будет лидировать все 20?
Показать решение
Ответ Лидерство одного друга во всех 20 раундах гораздо вероятнее: 35,2% для любого из двоих против 6,1% для ровного раздела 10 на 10.
Вероятность того, что счёт честной игры сравняется после 2k раундов, равна u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 после 10 раундов и 0,176 после 20. Классический результат, закон арксинуса, говорит, что вероятность того, что названный заранее друг лидирует ровно 2k раундов из 2n, равна u(2k) × u(2n − 2k).
Лидерство во всех 20: u(20) × u(0) = 0,176 для каждого друга, 35,2% для любого из двоих. Ровный раздел: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1% — наименее вероятный раздел из всех.
Так что в честной игре лидерство редко переходит из рук в руки. Игрок, который весь вечер был впереди или весь вечер позади, не увидел ничего необычного, и это ничего не говорит ни о колесе, ни о мастерстве. Эпстайн (2013) приводит тот же закон для более длинных игр: в половине случаев более удачливая сторона лидирует больше 85% игры.
Минутка юмора
Среднее сходится. Сумма просто уходит.
Источники
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.