Дисперсия
Почему прямая ставка и ставка на красное с одинаковым ожидаемым проигрышемматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью → ощущаются как разные игры.
Дисперсия измеряет, насколько результаты разбросаны вокруг математического ожидания. На единицу ставки она около 34 для прямой ставки и около 1 для красного.
Формула для одной ставки
Для ставки с выплатой W к 1 и вероятностьюматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → p результат на единицуденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → равен +W с вероятностью p и −1 с вероятностью 1 − p. Математическое ожиданиематематикаМатематическое ожиданиеСредний результат одной ставки на длинной дистанции. Для любой стандартной ставки европейской рулетки: −1/37 от ставки.Читать полностью → равно pW − (1 − p) = −1/37. ДисперсияматематикаДисперсияМера того, насколько широко результаты разбросаны вокруг математического ожидания. Высокая у прямой ставки, низкая у ставок на равные шансы.Читать полностью → равна E[X²] − EV² = pW² + (1 − p) − (1/37)². Для прямой ставкиставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью →: (1/37)(1225) + 36/37 − 0,0007 ≈ 34,08. Для красногоставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →: 18/37 + 19/37 − 0,0007 ≈ 0,999.
Что это значит для сессии
Дисперсии складываются для независимых спиновматематикаНезависимые спиныУ каждого спина одни и те же вероятности, что бы ни выпадало раньше. На этом основаны все расчёты на сайте.Читать полностью →, поэтому за N спинов при фиксированной ставке дисперсия суммы равна N × ставка² × σ², а стандартное отклонениематематикаСтандартное отклонениеКвадратный корень из дисперсии; типичное расстояние результата от математического ожидания.Читать полностью → — σ × ставка × √N. 100 спинов по $10: стандартное отклонение около $584 для прямых ставок и $100 для красного при примерно одном и том же ожидаемом −$27. Один игрок видит результаты, которые болтаются на сотни; другой — плавный снос. Оба платят одну цену.
Дисперсия и системы
ПрогрессиястратегияПрогрессияЛюбое правило, которое меняет ставку в зависимости от предыдущих результатов. Отрицательные прогрессии повышают её после проигрышей, положительные — после выигрышей.Читать полностью → не меняет EV на единицу ставок, но меняет и сумму ставок, и форму распределения. МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → снижает дисперсию большинства сессий (много мелких выигрышей) и добавляет «жирный хвост» (редкий крупный проигрыш); суммарная дисперсия по всем сессиям выше, чем у флэтастратегияФлэтСтавка одной и той же суммы на каждом спине. Точка отсчёта, с которой сравнивают любую прогрессию.Читать полностью →, из-за этого хвоста. ПаролистратегияПаролиПоложительная прогрессия: удвоение после выигрыша, сброс после проигрыша или после трёх выигрышей подряд. Другое название: обратный мартингейл.Читать полностью → делает наоборот. Выбор системы — это выбор профиля дисперсии; среднего в меню нет.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$40
- p90 +$1 120
Почему это важно игроку
Дисперсия делает короткие сессии непредсказуемыми, а длинные — предсказуемыми. При σ = $100 и EV = −$27 на 100 спинов преимущество казино составляет четверть шума, и выигрышная сессия — обычное дело. На 10 000 спинов EV равно −$2 700, а σ — $1 000; преимущество теперь почти втрое больше шума, и выигрышная серия — событие в три сигмы. Дисперсия — друг игрока на короткой дистанции и друг казино — на длинной.
Дисперсия сочетания
Для нескольких ставок на один спин исходы коррелируют (попадание на 17 — это ещё и попадание на чёрноеставкаЧёрноеСтавка на равные шансы на 18 чёрных чисел. По-французски: noir.Читать полностью → и на вторую дюжинуставкаДюжина1–12, 13–24 или 25–36, выплата 2:1.Читать полностью →), поэтому дисперсии просто не складываются. Инструмент «Конструктор ставок» считает точное распределение для любого набора фишекденьгиФишкаЖетон, который обозначает определённую сумму; чтобы сделать ставку, его кладут на игровое поле. Другое название: чек (check).Читать полностью →, перебирая все 37 исходов, и это единственный верный способ.
Формула
Вопросы
Нет. У каждой ставки одно и то же математическое ожидание. Большая дисперсия означает более широкие колебания вокруг него.
У ставок на равные шансыставкаСтавка на равные шансыКрасное/чёрное, нечёт/чёт, большие/малые. 18 чисел, выплата 1:1.Читать полностью →, σ ≈ 1 на единицу. Ещё ниже с la partageправилоLa partageФранцузское правило: если выпадает зеро, половина ставки на равные шансы возвращается. Вдвое снижает преимущество казино по таким ставкам, до 1,35%.Читать полностью →, которое к тому же улучшает среднее.
Ожидаемая прибыль на доллар одна и та же; дисперсия влияет лишь на то, насколько неровен доход казино, а у казино тысячи игроков, чтобы его сгладить.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
Два игрока ставят по $1 за спин в течение 100 спинов на европейском колесе: один всегда на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →, другой всегда на 17. У кого больше вероятность оказаться в плюсе в конце?
Показать решение
Ответ У игрока на 17: 50,9% против 35,5% у ставки на красное. Оба в среднем проигрывают $2,70.
Красное: игрок в плюсе при 51 или более выигрышах из 100, каждый с вероятностьюматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → 18/37. Биномиальное распределение даёт 35,5%, и ещё 7,7% приходится ровно на 50 выигрышей, то есть на выход в ноль.
Число 17: каждый выигрыш возвращает $36, поэтому двух выигрышей (−$28) мало, а трёх (+$8) достаточно. Вероятность трёх и более попаданий за 100 спинов при 1/37 — 50,9%.
Игрок на прямой ставке чаще оказывается в плюсе, но его результаты более рваные: одно попадание больше или меньше сдвигает итог на $36, а те, кто в минусе, обычно уходят в минус глубже. Боллман (2024) приводит цифры для американского колеса: 26,5% и 49,2%.
Минутка юмора
Одинаковый ожидаемый проигрыш. Один из них сообщает о нём громко.
Источники
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.