Задача: сколько ждать зеро
Зеро выпадает в среднем один раз за 37 спинов. Сколько вы на самом деле ждёте и что это делает с игроком на равные шансы?
Ожидание зеро подчиняется геометрическому распределению: среднее 37 спинов, медиана 25, и каждое двадцатое ожидание длиннее 110 спинов. За сессию из 200 спинов игрок на равные шансы в среднем ожидает 5,4 зеро и увидит от 1 до 10.
Задача
У зероколесоЗероЕдинственная зелёная ячейка, которую не закрывает ни одна ставка на равные шансы, на дюжину или на колонну; источник преимущества казино. Другие названия: одно зеро, 0.Читать полностью → вероятностьматематикаВероятностьВероятность исхода: от 0 до 1 или от 0% до 100%. Одно число: 1/37 = 2,70%.Читать полностью → 1/37 за спин. (а) Какова вероятность не получить ни одного зеро за следующие 37 спинов? (б) Какова медиана ожидания? (в) Сколько зеро должен ожидать игрок за сессию из 200 спинов на равные шансы и каков диапазон?
Решения
(а) (36/37)³⁷ = 36,3%. Больше чем в трети случаев проходит 37 спинов вовсе без зеро, и это та же арифметика, по которой «хотя бы одно попадание на прямую ставкуставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью → за 37 спинов» — всего 63,7%. (б) Ожидание W геометрическое; p(W > k) = (36/37)ᵏ; медиана — это k, при котором значение пересекает 0,5, то есть k ≈ 25. Половина ожиданий — 25 спинов или короче, половина длиннее; среднее 37 поднимает длинный хвост. (в) Число зеро за 200 спинов биномиально со средним 200/37 = 5,4 и стандартным отклонениемматематикаСтандартное отклонениеКвадратный корень из дисперсии; типичное расстояние результата от математического ожидания.Читать полностью → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. Диапазон 95% — примерно от 1 до 10.
Сколько зеро стоит игроку на равные шансы
Каждое зеро стоит одной ставки, и зеро — это всё преимущество казино на красномставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью →: за 37 спинов в среднем 18 выигрышей и 18 проигрышей сокращаются, а одно зеро — это те самые −1/37. В сессии из 200 спинов по $10 ожидаемые 5,4 зеро стоят $54, а это ровно 200 × $10 / 37. Сессия с 2 зеро — это $34 удачи; сессия с 9 зеро — $36 неудачи, и она будет казаться подстроенной. На столе с la partageправилоLa partageФранцузское правило: если выпадает зеро, половина ставки на равные шансы возвращается. Вдвое снижает преимущество казино по таким ставкам, до 1,35%.Читать полностью → каждое зеро стоит полставки, и цифры вдвое меньше.
Продолжение
Какова вероятность двух зеро подряд? (1/37)² = 1/1 369. В казино, где идут 20 столов по 50 спинов в час, это примерно одно двойное зероразновидностьДвойное зероЯчейка 00 американского колеса. Из-за неё преимущество казино вырастает с 2,70% до 5,26%.Читать полностью → где-нибудь каждые 1,4 часа. Игроки, увидевшие его, делают вывод, что колесо сломано; арифметика говорит, что это обычный вторник.
Попробуйте
Симулятор сессий считает зеро в каждой сессии. Прогоните 100 спинов несколько сотен раз и постройте график числа зеро: появится гистограмма выше с её длинным правым хвостом. Именно из хвоста берутся все истории.
Формула
Вопросы
Не на честном. На смещённом колеселабораторияСмещённое колесоКолесо, у которого из-за физических дефектов вероятность некоторых ячеек выше 1/37. Встречается редко, обнаружить можно только по тысячам записанных спинов.Читать полностью → так могла бы вести себя любая ячейкаоборудованиеЯчейкаОдно из 37 пронумерованных отделений ротора. Другие названия: слот, чашечка.Читать полностью →, и чтобы это понять, понадобятся тысячи спинов.
Это такая же ставка с 2,70%, как и любая другая. Она меняет форму сессии (зеро становится выигрышем), а не цену.
Потому что распределение ожиданий скошено: много коротких ожиданий и несколько очень длинных.
Минутка юмора
Среднее 37, медиана 25 и длинный хвост, где живут легенды.
Источники
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.