Стандартное отклонение
Квадратный корень из дисперсииматематикаДисперсияМера того, насколько широко результаты разбросаны вокруг математического ожидания. Высокая у прямой ставки, низкая у ставок на равные шансы.Читать полностью →: типичное расстояние между результатом и его ожиданием.
На $1 ставки σ равна 5,84 для прямой ставки и 1,00 для красного. Умножьте на ставку и на корень из числа спинов — получите значение для сессии.
Практическое правило
Около двух третей сессий попадают в пределы одной σ от ожидания и 95% — в пределы двух. Для 100 спинов на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → по $10 (ожидаемо −$27, σ = $100) большинство сессий укладываются между −$127 и +$73, а почти все — между −$227 и +$173. Результат за пределами этого диапазона ни о чём не свидетельствует, кроме того, что так бывает в одной сессии из двадцати.
Почему √N
Ожидаемый проигрышматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью → растёт пропорционально N, а разброс — пропорционально √N. При малых N преобладает разброс, и сессии — это подбрасывание монеты с лёгким уклоном. При больших N проигрыш обгоняет разброс. Точка пересечения, где ожидаемый проигрыш равен одному стандартному отклонениюматематикаСтандартное отклонениеКвадратный корень из дисперсии; типичное расстояние результата от математического ожидания.Читать полностью →, — это N = (σ/преимущество)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 спинов для равных шансов и (5,84/0,027)² ≈ 46 800 для прямых ставокставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью →. Ниже этих чисел решает везение; выше — преимущество казино.
Как этим пользоваться
Чтобы понять, была ли сессия необычной, посчитайте (результат − EV)/σ. Игрок на красное по $10, закончивший 100 спинов с +$150, находится на (150 + 27)/100 = 1,77σ, это исход один из 25: повезло, но ничего выдающегося. Игрок на прямые ставки при том же +$150 находится на 0,3σ: обычный вечер. Один и тот же результат в долларах значит разное на разных ставках.
Стандартная ошибка доли
Та же арифметика показывает, сколько спинов нужно, чтобы увидеть преимущество казино в данных. Стандартная ошибка наблюдаемой доли выигрышей равна √(p(1 − p)/N). Для красного при N = 1000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Разница между честной монетой и красным — 1,35%, так что после 1 000 спинов вы всё ещё не можете уверенно отличить их друг от друга. После 10 000 стандартная ошибка равна 0,5%, и можете. Поэтому для обнаружения смещения колеса и нужно так много спинов.
Предостережение о скошенности
Результаты прямых ставок в короткой сессии далеки от нормального распределения: большинство сессий — это ровное −$10 за спин с редкими скачками +$350. Правило ±1σ верно описывает разброс, но плохо описывает форму, пока N не достигнет сотен. Для ставок на равные шансыставкаСтавка на равные шансыКрасное/чёрное, нечёт/чёт, большие/малые. 18 чисел, выплата 1:1.Читать полностью → нормальное приближение хорошо примерно с 30 спинов.
Формула
Вопросы
Это доказательство того, что вы сыграли около 40 сессий или оказались в одной удачной из сорока. Повторите.
Оно колеблется всё меньше: стандартная ошибка среднего равна σ/√N. К N = 10 000 она составляет 1% ставки.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
За 100 спинов на европейском колесе одна единицаденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью → на красноеставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → оказывается в плюсе, если выигрывает не меньше 51 раза, а одна единица на прямой ставкеставкаПрямая ставкаОдно число, выплата 35:1.Читать полностью → — если её число выпадает не меньше 3 раз. Оцените обе вероятности с помощью колоколообразной кривой и сравните их с точными ответами.
Показать решение
Ответ Красное: колокол даёт 35,6%, точный ответ — 35,5%. Прямая ставка: колокол даёт 55,0%, точный ответ — 50,9%. Для красного приближение работает, для одного числа — промахивается.
Красное: в среднем 100 × 18/37 = 48,6 выигрыша с разбросом √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. «В плюсе» значит 51 или больше; середина, 50,5, лежит на 0,37 разброса выше среднего, и колокол даёт выше этой отметки 35,6%. Сумма точных вероятностей 51, 52 … 100 выигрышей — 35,5%.
Прямая ставка: в среднем 100/37 = 2,70 попадания с разбросом √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Три попадания или больше — это выше 2,5, на 0,12 разброса ниже среднего: по колоколу 55,0%. Точно — это 1 минус вероятности 0, 1 и 2 попаданий, 6,5% + 17,9% + 24,7%, и остаётся 50,9%.
Колоколу нужно много результатов по обе стороны от среднего. У красного за 100 спинов они есть; у числа, которое в среднем выпадает меньше трёх раз, — нет. Кривая даже отводит 8,7% на «ни одного попадания», а настоящая вероятность — 6,5%. Тейлор (2021) так же ставит рядом биномиальное распределение и колокол.
Минутка юмора
Одна сессия из двадцати выходит за две сигмы. Кто-то всегда на хвосте.
Источники
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.