Математика · Базовое понятие · 7 мин

Математическое ожидание

Средний результат ставки, если бы её можно было повторять бесконечно. В европейской рулетке он одинаков для всех стандартных ставок: в среднем вы теряете 1/37 каждой ставки за спин.

Простыми словами

Представьте, что вы миллион раз ставите одни и те же $10 на красное. Одни спины приносят выигрыш $10, другие — проигрыш $10. Сложите все результаты и разделите на миллион: получится около −$0,27. Это число и есть математическое ожидание. Это не то, что происходит на каком-то одном спине, а средний результат за спин на длинной дистанции.

Короткий ответEV = вероятность выигрыша × сумма выигрыша − вероятность проигрыша × сумма проигрыша. Для любой стандартной ставки в рулетке это −2,70% от ставки.

Формула

EV = p · W − (1 − p) · S
p = n/37 · W = S·(36/n − 1) · n = количество покрытых чисел · S = ставка

Подставьте правило выплат рулетки, 36/n − 1, и n сокращается. Вот и вся история преимущества казино в одной строке:

EV = (n/37)·S·(36/n − 1) − ((37−n)/37)·S
= S·(36 − n − 37 + n)/37
= −S/37

Попробуйте

Выберите, сколько чисел покрывает ставка. Вероятность и выплата меняются, математическое ожидание — нет.

1 число в ставке · выплата 35:1ставка $10

проигрыш 97,3%

p(выигрыш)1/37 = 2,70%

выигрыш приносит+$350

проигрыш стоит−$10

EV = p·W − (1−p)·S0,0270·$350 − 0,9730·$10

математическое ожидание−$0,27 за спин · −2,70%

Как это выглядит со временем

Средний результат за спин при ставке $10 на красное по мере накопления спинов. В начале доминирует удача; по мере роста выборки среднее устанавливается около −$0,27. Это и есть сходимость на длинной дистанции, на которую рассчитывает казино.

Распространённые заблуждения

«Отрицательное матожидание значит, что я буду проигрывать каждую сессию».

Нет. Это значит, что в среднем по многим сессиям результат — проигрыш. Отдельные сессии сильно различаются, особенно на ставках с высокой дисперсией, таких как прямая ставка.

«Казино нужно много времени, чтобы выиграть».

Преимущество казино действует на каждом спине; длинная дистанция лишь делает результат предсказуемым. В пределах одной сессии удача — более сильный фактор.

«У некоторых ставок матожидание лучше, чем у других».

Не в европейской рулетке, с одним исключением: по правилу la partage или en prison у ставок на равные шансы преимущество казино вдвое меньше обычного.