Система Фибоначчи
Ставки идут по ряду 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… После проигрыша шаг вперёд, после выигрыша два шага назад.
Эта система не обыгрывает колесо; этого не может ни одна схема ставок. Она мягче мартингейла: переживает более длинные проигрышные серии до упора в лимит, но и отыгрывается медленнее. Ожидаемый проигрыш прежний: 2,70% оборотаденьгиОборотОбщая сумма ставок за сессию или за период, включая повторно поставленные выигрыши. Другие названия: handle, action.Читать полностью →.
Как строится последовательность
Каждое число равно сумме двух предыдущих.
Значит, после 8 и 13 идёт 21.
Нарисуйте каждое число в виде квадрата, и квадраты сложатся вместе: каждый новый по длине равен двум предыдущим, поставленным рядом. Четверть окружности в каждом квадрате, и дуги соединяются в спираль.
Пройдите по последовательности
Проигрыш сдвигает на один шаг вправо. Выигрыш возвращает на два шага назад.
Ставки и результаты указаны в единицах базовой ставки.
Как работает система Фибоначчи?
Выпишите числа ФибоначчистратегияСистема ФибоначчиПрогрессия по последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: один шаг вперёд после проигрыша, два шага назад после выигрыша.Читать полностью →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Каждое равно сумме двух предыдущих. Начните с первого и поставьте столько единицденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →. Проиграли — сдвиньтесь на шаг вправо. Выиграли — на два шага влево или к началу, если места нет. Вот и вся система. Таблица показывает, во что обходится каждый шаг: серия проигрышей, оборванная лимитом столастолЛимит столаМинимальная и максимальная разрешённая ставка. Именно максимум останавливает прогрессии с удвоением.Читать полностью → или вашим банкролломденьгиБанкроллВся сумма, отложенная на игру. Управление банкроллом — это решение о том, какой его частью рисковать в одной ставке и в одной сессии.Читать полностью →, теряет сумму всего, что было поставлено до этого.
Как выглядит сессия?
Возьмём базу $10 и восемь спинов: П П В П П П В В. Ставки идут так: 10, 10, 20 (выигрыш, назад на два, на шаг 1), 10, 10, 20, 30 (выигрыш, назад на два, на шаг 2), 10 (выигрыш, назад к началу). Проиграно: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Выиграно: 20 + 30 + 10 = 60. Пять проигрышей, три выигрыша, и вы при своих. В этом привлекательность системы. Цена записана в той же строке: чтобы туда дойти, понадобилось ставок на $120, а каждый поставленный доллар несёт преимущество казиноматематикаПреимущество казиноДоля каждой ставки, которую казино в среднем оставляет себе: 2,70% в европейской рулетке.Читать полностью →.
Почему назад на два шага, а не на один?
Потому что один выигрыш оплачивает ровно два проигрыша. Каждое число равно сумме двух предыдущих, поэтому выигрыш на 5 единицах возвращает 2 и 3, проигранные прямо перед этим. Представьте лестницу: одна ступенька вверх за каждый проигрыш, две ступеньки вниз за каждый выигрыш. Ступенька, на которой вы стоите, — это ваш долг. На ступеньке 5 вы в минусе на 7 единиц, на ступеньке 8 — на 33, а снова на первой ступеньке вы ровно при своих. Прибыль дают только выигрыши на первой ступеньке, по одной единице.
Когда выигрышей почти столько же, сколько проигрышей, две ступеньки за одну звучат как выгодная сделка, и чаще всего лестница действительно ведёт обратно вниз. Подвох в том, что чем выше, тем выше ступеньки. Десять выигрышей на первой ступеньке приносят 10 единиц. Три проигрыша на ступеньках 6, 7 и 8 стоят 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
Работает ли система Фибоначчи?
Нет. Не как способ остаться в плюсе. Расчёт тот же, что для любой системы: каждая ставка в среднем теряет 1/37 своей суммы, поэтому вся последовательность теряет 1/37 всего поставленного. Знаменитая последовательность этого не меняет, потому что колесо платит по тем же коэффициентам, какого бы размера ни была фишкаденьгиФишкаЖетон, который обозначает определённую сумму; чтобы сделать ставку, его кладут на игровое поле. Другое название: чек (check).Читать полностью →. Ставки Фибоначчи дрейфуют вверх, поэтому за спин система ставит больше, чем флэтстратегияФлэтСтавка одной и той же суммы на каждом спине. Точка отсчёта, с которой сравнивают любую прогрессию.Читать полностью →, и её ожидаемый проигрышматематикаОжидаемый проигрышМатематическое ожидание, умноженное на общую сумму ставок; средняя сумма проигрыша за сессию или за период.Читать полностью → за сессию выше. МартингейлстратегияМартингейлПрогрессия, которая удваивает ставку после каждого проигрыша. Что она даёт и чего не даёт, смотрите в разделе «Стратегии».Читать полностью → ставит ещё больше и проигрывает больше.
Безопаснее ли она мартингейла?
Она медленнее, а это не одно и то же. Ставки Фибоначчи растут примерно в 1,6× за шаг, а не в 2×, поэтому лимит $500 достигается примерно после десяти проигрышей подряд от базы $10, а не после шести. Так обрыв случается реже: десять проигрышей подряд на равные шансы — это (19/37)¹⁰ ≈ 0,13% против (19/37)⁶ ≈ 1,8% для шести. Но обрыв и выше, потому что по пути поставлено больше, а один выигрыш его не отменяет.
Откуда взялись эти числа?
Из задачи о кроликах. Леонардо Пизанский, позже прозванный Фибоначчи, привёл её в своей книге Liber Abaci 1202 года: начните с одной пары, пусть каждая пара со второго месяца жизни каждый месяц приносит новую пару, и сосчитайте пары. Ответ идёт так: 1, 2, 3, 5, 8, 13. Он не первым нашёл это правило. Индийские исследователи стихотворного ритма записали его раньше: Сингх (1985) возводит его к Вираханке, между 600 и 800 годами, а затем к Гопале и Хемачандре.
Никто из них не думал о колесе. Источники, использованные здесь, не говорят, кто первым стал ставить деньги по этой последовательности. Зато они показывают, что её арифметика и арифметика рулетки нигде не пересекаются: одна говорит, как растут ставки, другая — что возвращает каждая ставка.
Сколько теряется после серии проигрышей?
Таблицу выше легко проверить с помощью двух тождеств. После n проигрышей подряд общий проигрыш равен (n + 2)-му числу Фибоначчи минус 1, что даёт 1, 2, 4, 7, 12, 20 и так далее, а следующая ставка — (n + 1)-е число Фибоначчи. Bollman (2021) доказывает тот же результат по индукции для последовательности, которая начинается с 1, 2, 3, из-за чего каждое число сдвигается на одну позицию. При лимите 500 единиц и начальной ставке 1 единица мартингейл не может сделать 10-ю ставку, 512 единиц. Система Фибоначчи может сделать 14-ю, 377 единиц, но не 15-ю, 610.
Что меняется на дюжине или колонне?
На дюжинеставкаДюжина1–12, 13–24 или 25–36, выплата 2:1.Читать полностью → или колоннеставкаКолоннаДвенадцать чисел одной вертикальной колонны игрового поля, выплата 2:1.Читать полностью →, которые платят 2 к 1, шаг назад не нужен. Выигрыш при ставке F приносит 2F, а это всегда больше всего проигранного до него, поэтому каждый выигрыш завершает последовательность в плюсе. Цена в том, что дюжина выигрывает только 12 раз из 37, поэтому длинные проигрышные серии случаются гораздо чаще: четырнадцать проигрышей дюжины подряд бывают примерно раз на 242 попытки, а на красномставкаКрасноеСтавка на равные шансы на 18 красных чисел. По-французски: rouge.Читать полностью → — примерно раз на 11 000.
А если останавливаться только после двух выигрышей подряд?
Другой вариант делает шаг вперёд после каждого спина, будь то выигрыш или проигрыш, и останавливается только после двух выигрышей подряд. Если до двух выигрышей было n проигрышей, прибыль равна (n + 1)-му числу Фибоначчи плюс 1: небольшая, когда выигрыши приходят рано, больше, когда поздно, и получена она на ставках, которые выросли соответственно. Ранняя пара выигрышей всегда приходится на малые ставки; поздней может понадобиться крупная ставка ровно в тот момент, когда сессия идёт хуже всего.
Симулятор · Система Фибоначчи
2 000 сессий ставок на равные шансы с банкроллом $1 000.
Базовая ставка $10 · лимит стола $500 · 100 спинов за сессию
Как часто случается проигрышная серия
Ставка на равные шансы на колесе с одним зеро проигрывает в 19 спинах из 37. Каждая строка — вероятность того, что все спины такой серии окажутся проигрышными, и сумма, которую к этому моменту проиграл игрок по системе Фибоначчи, который после каждого проигрыша сдвигается на один шаг по последовательности.
| проигрышей подряд | вероятность | примерно 1 из | уже проиграно | след. ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1 596 | $987 |
Вероятность — это 19/37, умноженное само на себя по одному разу за каждый проигрыш; она считается от одного заданного спина. В длинной сессии много спинов, с которых может начаться такая серия, поэтому за вечер она гораздо вероятнее, чем показывает одна строка.
Вопросы
Да: вперёд после выигрыша, назад после проигрыша. Он ведёт себя как более медленные паролистратегияПаролиПоложительная прогрессия: удвоение после выигрыша, сброс после проигрыша или после трёх выигрышей подряд. Другое название: обратный мартингейл.Читать полностью →.
Математика для удовольствия
Сначала попробуйте решить сами. Каждое решение свёрнуто; откройте его, когда будете готовы.
Играйте по варианту, который сдвигается на один шаг по последовательности после каждого спина, будь то выигрыш или проигрыш, и останавливается после двух выигрышей подряд: ставки 1, 1, 2, 3, 5, 8 и так далее. Первые четырнадцать результатов: В П В П П П В П П П В П П В. Каков ваш итог и какая следующая ставка?
Показать решение
Ответ Минус 22 единицыденьгиЕдиницаБазовая ставка, в которой считает система или игрок. Прогрессии описывают в единицах, чтобы они подходили для любого стола.Читать полностью →. Следующая ставка — 610 единиц, и выигрыш завершил бы сессию в плюсе на 588.
Ставки — первые четырнадцать чисел ФибоначчистратегияСистема ФибоначчиПрогрессия по последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: один шаг вперёд после проигрыша, два шага назад после выигрыша.Читать полностью →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и 377. Сложите выигрыши и вычтите проигрыши: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
Последний результат — выигрыш, так что ещё один выигрыш всё завершит. Следующая ставка — 610: выигрыш даёт +588, проигрыш — −632 и следующую ставку 987.
Этот вариант всегда заканчивается в плюсе, но здесь для этого нужна ставка в 610 единиц. По обычным правилам, на два шага назад после выигрыша, те же четырнадцать результатов оставляют вас всего на 1 единицу в минусе, а следующая ставка — 2. У Bollman (2021), который начинает последовательность с 1, 2, 3, выходит минус 1 единица и следующая ставка 3. Обычные правила здесь теряют меньше, потому что каждый выигрыш снова снижает ставки.
спинставкарезультатитог11В+121П032В+243П−155П−668П−14713В−1821П−22934П−561055П−1111189В−2212144П−16613233П−39914377В−22Почему в том же варианте n проигрышей, за которыми следуют два выигрыша, всегда оставляют прибыль, равную (n + 1)-му числу Фибоначчи плюс 1?
Показать решение
Ответ n проигрышей в сумме дают (n + 2)-е число Фибоначчи минус 1, а два выигрыша — это два следующих числа, которые вместе больше этой суммы на (n + 1)-е число плюс 1.
Обозначим F₁, F₂, F₃ … числа 1, 1, 2, 3, 5 … Каждое число — сумма двух предыдущих.
Проигрыши: F₁ + F₂ + … + Fₙ. Прибавьте к этой сумме 1, записав её как F₂, и сумма схлопнется: F₂ + F₁ = F₃, затем F₃ + F₂ = F₄ и так далее, пока вся сумма не станет Fₙ₊₂. Значит, проигрыши в сумме равны Fₙ₊₂ − 1.
Выигрыши — две следующие ставки, Fₙ₊₁ и Fₙ₊₂. Прибыль: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. При четырёх проигрышах это F₅ + 1 = 6 единиц.
Минутка юмора
Золотое сечение встречает табличку с максимальной ставкой.
Источники
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.